Теорема 13.1

Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

▼Допустим, что существует рацыональное число, представленное несократимой дробью m/n, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

(m/n)²=2, т. е. m²=2n².

Отсюда следует, что m² (а значит, и m) — четное число, т. е. m=2k. Подставив m=2k в равенство m²=2n², получим 4k² = 2n², т. е. 2k²=n²,

Отсюда следует, что число n—четное, т. е. n=2l.Но тогда дробь m/n=2k/2l сократима. Это противоречит допущению, что m/n дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2. ▲

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так,√2=1,4142356...— иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать

R={х: х=α,α₁α₂α₃...}, где аєZ, а_iє{0,1,...,9}.

Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел α и b имеет место одно из двух соотношений а<b либо b<а.

2. Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a<х<b.

Так, если a<b, то одним из них является число (a+b)/2

(a<bÞ 2a<а+b а+b<2bÞ 2а<a+b<2bÞ а<(a+b)/2<b).

3. Множество R непрерывное. Пусть множество R разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел aєА и bєВ выполнено неравенство a<b. Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число с, удовлетворяющее неравенству a≤с≤b ("aєA, "bєВ). Оно отделяет числа класса. A от чисел класса В.Число с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу хєR соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».