Числовыемножества.Множестводействительных чисел

МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Основные понятия

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х²+2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы — малыми буквами a, b,......,х,у,...

Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х ÎX; запись хÏХ или х ÎX означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ø.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А={1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А={х:0≤х≤2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так АÌВ («А включено в В») или ВÉА («множество В включает в себя множество А»).

Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если АÌВ и ВÌА. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ={х:хєА или хєВ}.

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩В (или А*В). Кратко можно записать А∩В={х:хєА и хєВ}

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

ΑÞ ß — означает «из предложения α следует предложение ß»;

ΑÛ ß — «предложения α и ß равносильны», т. е. из α следует ß и из ß следует α;

" — означает «для любого», «для всякого»;

$ — «существует», «найдется»;

: — «имеет место», «такое что»;

→ — «соответствие».

Например:
1) запись " xÎ А:α означает: «для всякого элемента хÎ А имеет место предложение α»;
2) (х єA U В) <==> (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств А и В.

Числовыемножества.Множестводействительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

N={1; 2; 3;...; n;... } — множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2;...; n;... } — множество целых неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2;...; ±n;...} — множество целых чисел;

Q={m/n: mÎZ,nÎN} — множество рациональных чисел.

R—множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... — рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными.