![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a,b ]. Разобьем этот отрезок
Точками a = x0<x1<...<xi<xi+1<...<xn=b.
Назовем диаметром этого разбиения число d= max ( –
), i= 1, …. n- 1.
Возьмем [
] и составим сумму
)(
которая называется интегральной суммой.
Определение. Число I называется пределом интегральных сумм ()(
) при диаметре разбиения d
, если для
такое, что для всех разбиений с диаметром d <
и для любого набора точек
выполняется неравенство
Теорема. Если предел интегральных сумм существует, то он единственен.
Доказательство. Предположим, что существуют два предела .
Возьмем любое число . Тогда для всех разбиений с достаточно малым диаметром неравенство (
) выполняется и для I 1, и для I 2. Следовательно,
Устремим
, получим противоречие
.
Определение. Предел интегральных сумм ()(
) называется определенным интегралом и обозначается
.
Функция f (x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [ a, b ].
Геометрический смысл определенного интеграла
Рассмотрим задачу об определение площади криволинейной трапеции aABb (см. рис.).
Заменим криволинейную трапецию системой прямоугольников. Суммарная площадь этих прямоугольников определяется формулой ()(
). Предел интегральных сумм (
)(
) при диаметре d
и назовем площадью криволинейной трапеции. Итак, геометрический смысл определенного интеграла – это площадь криволинейной трапеции aABb.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 344 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!