Вопрос 38. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла

Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a,b ]. Разобьем этот отрезок

Точками a = x0<x1<...<xi<xi+1<...<xn=b.

Назовем диаметром этого разбиения число d= max ( – ), i= 1, …. n- 1.

Возьмем [ ] и составим сумму )( которая называется интегральной суммой.

Определение. Число I называется пределом интегральных сумм ()() при диаметре разбиения d , если для такое, что для всех разбиений с диаметром d < и для любого набора точек выполняется неравенство

Теорема. Если предел интегральных сумм существует, то он единственен.

Доказательство. Предположим, что существуют два предела .

Возьмем любое число . Тогда для всех разбиений с достаточно малым диаметром неравенство () выполняется и для I 1, и для I 2. Следовательно, Устремим , получим противоречие .

Определение. Предел интегральных сумм ()() называется определенным интегралом и обозначается .

Функция f (x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [ a, b ].

Геометрический смысл определенного интеграла

Рассмотрим задачу об определение площади криволинейной трапеции aABb (см. рис.).

Заменим криволинейную трапецию системой прямоугольников. Суммарная площадь этих прямоугольников определяется формулой ()(). Предел интегральных сумм ()() при диаметре d и назовем площадью криволинейной трапеции. Итак, геометрический смысл определенного интеграла – это площадь криволинейной трапеции aABb.