Проверка

Для проверки результата продифференцируем полученное выражение:

В итоге получили подынтегральную функцию, значит, интегрирование выполнено правильно. В последнем переходе была использована формула синуса двойного угла.

Вопрос 35. Основные свойства неопределенного интеграла:

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. (∫f(x)dx)′=f(x) d∫f(x)dx=f(x)dx

Доказательство:

∫f(x)dx=F(x)+C,

(∫f(x)dx)′=(F(x)+C)′=F′(x)+0=F′(x)=f(x),

d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)′dx=f(x)dx

2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е. ∫dF(x)dx=F(x)+C.

Доказательство:

dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx,

∫dF(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.

3) Постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла, т.е. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,k(не равно) 0

Доказательство: Пусть F(x) -- первообразная для функции f(x), тогда

kF(x) -- первообразная для функции kf(x).

(kF(x))′=0+kF′(x)=kF′(x)=kf(x).

Таким образом

∫kf(x)dx=kF(x)+C=k(F(x)+C/k)=k(F(x)+C1)=k∫f(x)dx

4) Неопределенный интеграл от суммы(разности) двух функций равен сумме(разности) интегралов этих функций.

∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Распространяется на n слагаемых.

Доказательство:

d[∫f(x)dx±∫g(x)dx]=d∫f(x)dx±d∫g(x)dx=

=f(x)dx±g(x)dx=[f(x)±g(x)]dx.

Вопрос 36: Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование.

Пример.Найдите множество первообразных функции .
Решение.Запишем функцию в виде .
Так как интеграл суммы функций равен сумме интегралов, то

Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:

Первый из интегралов приведен к табличному виду, поэтому из таблицы первообразных для показательной функции имеем .
Для нахождения второго интеграла воспользуемся таблицей первообразных для степенной функции и правилом
То есть, . Следовательно,

где.