Теорема о разложении правильной дроби на сумму простейших дробей

(без доказательства). Верно разложение

Здесь – некоторые вполне определенные числа.

С учетом этой теоремы задача интегрирования правильной рациональной дроби сводится к интегрированию выражений следующего вида:

I.

II.

Пусть квадратный многочлен  px  q имеет отрицательный дискриминант, то есть .

III.

Далее,

IV.

Первый интеграл, стоящий в правой части этого выражения, имеет вид интеграла из пункта II.

Обозначим и рассмотрим второй интеграл L(k)=s w:val="28"/></w:rPr><m:t>k</m:t></m:r></m:sup></m:sSup></m:den></m:f></m:e></m:nary></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

Второй интеграл в этом выражении интегрируем по частям

Следовательно, будем иметь

Из этого рекуррентного соотношения можем вычислить любой интеграл L (k).

Пусть теперь в () n  m. Тогда, разделив числитель на знаменатель, представим () в виде +правильная дробь.