Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х ₀. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем .

.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х ₀.

Следствие. Если х ₀ – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Пример. у=|х|, х ₀ = 0.

Y

0 X

Dх> 0, ;

Dх< 0, .

В точке х ₀ = 0 функция непрерывна, но производной не существует.

55) Основные правила дифференцирования

Производная алгебраической суммы функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

(u±v)' = u'±v'

Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

(u — v + w)' = u' — v' + w'

Производную произведения функций определяет

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.

(uv)' = u'v + uv'

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cv)' = cv' (с = const).

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные.

Например, (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'

Производная частного двух функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой