Базис. Декартова прямоугольная система координат

Определение. Три вектора и называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле (т. е. или лежат в одной плоскости, или в параллельных плоскостях).

После приведения к одному началу компланарные векторы лежат в одной плоскости.

Определение. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке; базисом на плоскости называют два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке; базисом на прямой называют любой ненулевой вектор на этой прямой.

Теорема. Каждый вектор в пространстве, плоскости или на прямой может быть разложен по базису пространства, плоскости или прямой соответственно, причем это разложение единственно.

Таким образом, если и - базис пространства, - вектор пространства, то где - координаты вектора в базисе Аналогичные разложения имееют место на плоскости и прямой.

При сложении векторов складываются соответствующие координаты, при умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

Взаимно перпендикулярные и имеющие единичную длину векторы образуют ортонормированный базис.

Определение. Совокупность точки – начала координат и ортонормированного базиса называют декартовой прямоугольной системой координат.

Рис. 5

Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называют осями координат, а плоскости, проходящие через оси координат – координатными плоскостями.

Рис. 6

Для каждой точки пространства существует ее радиус – вектор Под декартовыми координатами точки понимаются координаты ее радиус – вектора в базисе т. е. и

И вообще или

Если точка – начало, а точка – конец вектора то

Пример. Найти координаты вектора если и .

Решение.

Коллинеарные векторы и отличаются длиной и направлением (сонаправлены или направлены противоположно), поэтому координаты таких векторов пропорциональны, т.е. векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда

Например, векторы и коллинеарны.