Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение по базису

Линейной комбинацией векторов называется сумма вида

где действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Линейная комбинация векторов образуется из них с помощью операций умножения на число и сложения; следовательно, она также является вектором.

Пример 5. Составить линейную комбинацию векторов

и

с коэффициентами и .

Решение. Вычислим сначала произведения и :

Теперь находим линейную комбинацию:

Пример 6. Составить линейную комбинацию векторов

с коэффициентами

Аналогично предыдущему находим линейную комбинацию:

Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно подобрать коэффициенты так, что линейная комбинация данной системы векторов окажется равной нулевому вектору. Как будет показано ниже, такой выбор коэффициентов возможен не для всякой системы векторов (предполагается, что все коэффициенты не могут одновременно равняться нулю). В связи с этим введём следующее определение.

Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую (равную нулю) линейную комбинацию, т.е.

причём хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля.

Очевидно, что векторы , и в примере 5 являются линейно зависимыми. Смысл зависимости между векторами ясен из следующей теоремы.

Теорема 1. Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Доказательство. Так как система векторов , ,…, линейно зависима, то существуют такие числа

что

причём хотя бы одно из них не равно нулю. Предположим для определённости, что . Покажем, что соответствующий вектор можно выразить в виде линейной комбинации остальных векторов системы. Имеем

Откуда, разделив обе части равенства на число , находим

Обозначив

Получим

Это и есть искомое представление вектора в виде линейной комбинации остальных векторов системы с коэффициентами

Теорема 2 (обратная). Если один из векторов данной системы можно представить в виде линейной комбинации остальных, то такая система векторов линейно зависима.

Доказательство. Пусть имеется система векторов

один из которых, например, , выражается виде линейной комбинации остальных:

Покажем, что векторы

линейно зависимы. Перенесём все члены равенства в левую часть:

Отсюда видно, что линейная комбинация векторов

с коэффициентами

равна нулевому вектору, т.е. данная система векторов линейно зависима.