Свойства скалярного произведения

1. = .

2. .

3. .

4. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то .

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть .

Скалярное произведение ортов:

.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе как ,то .

Применение скалярного произведения

1. Длина вектора равна .

2. Угол между векторами определяется как .

3. Проекция вектора : .

4. Условие ортогональности двух векторов =0, .

5. Работа силы по перемещению материальной точки из А в В равна .

______________

2.2.1. Найти скалярное произведение векторов и .

2.2.2. Найти угол между векторами и .

2.2.3. Найти алгебраическую проекцию вектора на вектор .

2.2.4. Даны векторы . Вектор . Найти: ; ; ; ; .

2.2.5. Даны векторы: . При каких значениях n угол между векторами тупой, прямой, острый?

Ответ: n < ; n = ; n > .

2.2.6. Вычислить работу силы ={3;2;4}, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7).

2.2.7. На материальную точку действуют силы ₁= , ₂= , ₃= . Найти работы равнодействующей этих сил и силы ₂ при перемещении точки из А(2;-1;0) в В(4;1;-1).

2.2.8. Определить длину вектора , если .

2.2.9. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где .

2.2.10. Векторы взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы, равные π/3. Зная, что , найти .

_____________

2.2.11. Даны векторы и . Найти , , .

2.2.12. Даны векторы = , = , = . Найти модуль скалярного произведения диагоналей четырехугольника АВСД.

2.2.13. Даны векторы Вектор . Найти: , .

2.2.14. Даны силы ₁= , ₂= . Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку А(2;-1;-1).

2.2.15. Найти угол между векторами и , где и - единичные векторы с углом между ними 120°.