Векторы. Линейные операции над векторами

Геометрический вектор - это направленный отрезок, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, а другой конец (точка В) – концом вектора.

Длиной вектора (модулем) называют длину отрезка [АВ]. Векторы обозначают как , а их длины .

Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаковое направление.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым .

Произведением вектора на некоторое число αÎR называется вектор, длина которого равна длине вектора , умноженный на абсолютную величину числа α, а направление совпадает с направлением вектора , если α>0, и противоположно ему, если α<0.

Суммой нескольких векторов называется вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещается с концом предыдущего.

Проекцией вектора на ось ОХ называется число, равное длине вектора , умноженной на косинус угла между вектором и положительным направлением оси ОХ.

Если векторы и заданы своими координатами, т.е , то вектор k будет иметь координаты k ₁, k ₂,…,k _n, где k – действительное число; векторы + будут иметь координаты , ,…, .

Пусть имеется трехмерная прямоугольная система координат, в которой задана точка М(x,y,z).

Радиусом – вектором точки М называется вектор , соединяющий начало координат с этой точкой.

Длина радиуса – вектора определяется как ;

Единичные векторы координат осей называются ортами. Радиус – вектор через орты выражается как = . Если вектор задан координатами точек начала А(x₁,y₁,z₁) и конца В(x₂,y₂,z₂), то ;

.

Углы α,β,γ между вектором и положительными направлениями осей координат называются направляющими, при этом , причем cos²α+cos²β+cos²γ=1.

______________

2.1.1. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы . М – середина стороны ВС, N – середина АС. ОА =3, ОВ=4. Выразить через векторы .

2.1.2. Проверить аналитически и геометрически векторные тождества

а) ; б) .

2.1.3. В треугольной пирамиде SABC, где S – вершина, даны векторы . Найти вектор , где М – центр тяжести основания АВС.

2.1.4. Даны векторы . Вектор - медиана ΔОАВ. Разложить аналитически и геометрически вектор по векторам .

2.1.5. В параллелограмм АВСД заданы вершина С(6;-8;5) и векторы АС={-3;1;4}, ВД={2;-3;5} – его диагонали. Определить координаты точки В.

2.1.6. Построить вектор = . Определить его длину и направление.

2.1.7. В прямоугольной системе координат даны векторы и . Найти длину и направление вектора .

2.1.8. Построить параллелограмм на векторах = и = . Определить его диагонали.

____________

2.1.9. На плоскости даны точки А(3;3); В(-3;3); С(-3;0); О(0;0). Построить вектор = . Выразить векторы через единичные векторы координатных осей. Найти длину и направление вектора .

2.1.10. Определить координаты центра тяжести треугольника АВС, если А(5;1;12); В(11;3;8); С(2;5;0).

2.1.11. Построить точку М(5;-3;4). Определить длину и направление ее радиус – вектора.

2.1.12. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы, если .

2.1.13. Даны векторы ={3;-2;1}, ={-2;4;-3}. Найти длину и направление вектора .

2.1.14. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3); В(3;2;1); С(6;4;4). Найти координаты его четвертой вершины.