Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять двумя способами.

1) Можно выбирать удобный путь интегрирования, например, состоящий из отрезков, параллельных OX и OY. На отрезке, параллельном OX, dy=0, так как y не изменяется на этом отрезке. На отрезке, параллельном OY, dx=0, так как x не изменяется на этом отрезке. Тогда = +

2) Можно восстановить потенциал, как это делалось на первом курсе при решении дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и применить формулу Ньютона-Лейбница.

Пример. Вычислить интеграл .

1) =

2)

.

Сравнивая две записи потенциала, получим .

= .

Заметим, что аналогично вычисляется криволинейный интеграл от полного дифференциала по пространственной кривой.