Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой

Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.

1) не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

2) Для любого замкнутого контура

3)

4) . - полный дифференциал.

Доказательство. Доказательство аналогично двумерному случаю, схема доказательства та же: . Докажите ее самостоятельно.

проводится по теореме о смешанных производных так же как в двумерном случае.

проводится по теореме Стокса (будет сформулирована и доказана ниже).

доказательство полностью аналогично двумерному случаю.

доказательство аналогично двумерному случаю.

Замечание. Формула Ньютона-Лейбница справедлива в трехмерном случае и доказывается так же.