Линейные уравнения высших порядков

4.1. Решить задачу Коши:

(a)

Решение. Находим общее решение однородного дифференциального уравнения (дифура), соответствующего исходному дифуру (а):

(b)

Его характеристическое уравнение а корни Тогда общее решение дифура (b) будет:

(с)

Частное решение исходного дифура (а) берем в виде:

(d)

тогда

,

подставляем в (а) и группируем: , отсюда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем:

и ,

т.е. , а выражение (d) принимает вид:

(е)

Суммируя (с) и (е), найдем общее решение неоднородного диф. уравнения (а):

(f)

Найдем и, используя начальные условия (а), имеем:

отсюда

Найденные значения С ₁ и С ₂ подставляем в (f), и тогда частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

4.2. Решить задачу Коши:

(а)

Решение. Однородное дифуравнение

(b)

имеет характеристическое уравнение , а его корни будут . Тогда общее решение дифура (b) будет:

(с)

Частное решение дифура (а) ищем в виде:

(d)

Определив и и подставив в (а), после группировки имеем

отсюда или и Подставляя А и В в (d) и суммируя с (с), найдем общее решение дифура (а):

(е)

Найдем и, используя начальные условия (а), имеем

отсюда

Подставляя найденные С ₁ и С ₂ в (е), будем иметь решение исходного дифференциального уравнения (а), удовлетворяющего начальным условиям: