Дифференциальные уравнения первого порядка. 3.1. Найти общее решение уравнения:

3.1. Найти общее решение уравнения:

Решение. Разделив уравнение на х

получили однородное дифференциальное уравнение первого порядка, которое сведем к уравнению с разделяющимися переменными введением функции , отсюда и

Подставим в исходное уравнение или или , или Разделяем переменные Числитель делим почленно на знаменатель и интегрируем

или

Все интегралы табличные, тогда

или

Подставляем сюда , получим

или

Это и будет общее решение исходного дифференциального уравнения.

3.2. Скорость роста банковского вклада пропорциональна величине вклада. Коэффициент пропорциональности равен 3. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла 2 миллиона рублей.

Решение. Если величину вклада обозначить через J = J (t), где t – время, то скорость роста вклада есть производная, т.е. и она пропорциональна величине вклада J с коэффициентом пропорциональности, равным 3, т.е. .

Разделяем переменные и интегрируем

или ,

ln J = 3 t + C или J = e ^{3 t + C}.

В начальный момент времени, т.е. при t = 0 начальный вклад J ₀ = 2 млн. руб. Тогда

J ₀ = e ^{3 · 0 + C}; e^C = 2 и C · ln e = ln 2, т.е. C = ln 2.

Окончательно: J = e ^{3 t + ln2} или J = 2 e ^{3 t}.