с постоянными коэффициентами

65.1. Решить однородные уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) .

65.2. Решить неоднородные уравнения с правой частью специального вида:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

65.3. Решить уравнения методом вариации постоянных:

а) ; б) ; в) .

Занятие № 66.

Системы дифференциальных уравнений.

66.1. Решить системы уравнений:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к)

Ответы.

1.1. а) ; б) ; в) ; г) -41;

д) ; е) . 1.2. а) ; б) .

1.3. а) 1; б) 8ab; в) 0; г) 19. 1.4. а) 1449; б) -16; в) 0; г) -3692. 1.5. а) ;

б) ; в) ; г) ; д) необратима;

е) .

2.1. а) 2; б) 3; в) 4; г) 4. 2.2. 4. 2.3. а) m=8, r=3; б) m=1, r=3. 2.4. а) ;

б) ; в) ;

г) .

3.1. а) ; б) ; в) .

3.2. а) ; б) . 3.3. а) Решение существует и единственное ; б) Решение отсутствует; в) Существует бесконечное множество решений .

4.1. а) ;

б) ;

в) ; г) Система несовместна;

д) ;

е) .

4.2. а) ; б) ;

в) .

4.3. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) , система определенная. 4.4. а) ;

б) ; в) ; г) .

5.1. а) Да; б) Нет; в) Нет; д) Да. 5.2. а) 2; б) 4; в) 3. 5.3. . 5.4. . 5.5. . 5.6. . 5.7. а) Размерность равна 3, базис образуют ; б) Размерность равна 3, базис образуют .

5.8. . 5.9. .

5.10. а) ; б) .

6.1. . 6.2. .

6.3. а) ; б) .

6.4. а) ; б)

6.5. а) ; б) ;

в) .

7.1. . 7.2. .7.3. . 7.4. .

7.5. а) , собственные векторы , собственные векторы ; б) , собственные векторы , собственные векторы ; в) , собственные векторы ; г) , собственные векторы , где и одновременно; , собственные векторы , где ; д) , собственные векторы . 8.1. а) ; б) .

8.2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

8.3. а) ; б) ;

в) .

9.11. . 9.12. . 9.13. . 9.14. .

9.15. . 9.16. нет. 9.17. а) нет; б) да. 9.18. А(0, 2, 9/5). 10.1. -1. 10.2. -4/9. 10.3. 0. 10.4. -4/5. 10.5. 2/3. 10.6. -13. 10.7. 45°. 10.8. . 11.1. 24,5. 11.2. . 11.3. 1) ; 2) . 11.4. 1. 11.5. . 11.6. . 11.7. нет. 11.8. . 11.9. да. 11.10. -3. 11.11. 54. 11.12. , . 11.13. D1(0;-8;0); D2(0;-7;0). 12.1. -1,5. 12.2. 8x+12y+5=0. 12.3. 2x+3y-7=0. 12.4. -3x+5y-9=0. 12.5. A(2,1), B(4,2), C(1,8), D(-1,7). 12.6. d =-4, d=4. 12.7. . 12.8. 4. 12.9. по одну. 12.10. AB: 4x+3y-8=0; AD: 3x-4y-6=0; BC: 3x-4y+19; CD: 4x+3y-33=0 или 4x+3y+17=0. 12.11. 20x-8y-9=0. 12.12. x+y-5=0. 12.13. а) 45°; б) 60°. 12.14. . 12.15. AB: x-y-7=0; CD: x+y-5=0; BE: 3x-y-13=0; CF: 5x+3y-19=0. 13.1. . 13.2. . 13.3. .

13.4. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 13.5. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) или ; 9) . 13.6. . 13.7. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 13.8. . 13.9. . 13.10. 1) (1,0); 2) (0,2); 3) (-1,0); 4) (0,-1/2). 13.11. вершина т. О(4,3), фокус т. F(4, 23/8), ось x-4=0, директриса 8y-25=0. 14.1. 1) - окружность; 2) - гипербола; 3) - эллипс; 4) - парабола; 5) пара параллельных прямых; 6) мнимый эллипс. 14.2. 1) эллипс; 2) гипербола; 3) парабола; 4) пара параллельных прямых; 5) пара совпадающих прямых. 14.3. 1) эллипс; 2) пара пересекающихся прямых; 3) гипербола; 4) пара параллельных прямых; 5) гипербола. 14.4. . 14.5. . 15.1. x-2y+3z=0. 15.2. . 15.3. 2x+2y+z=0. 15.4. 10x+3y+16z-78=0. 15.5. x+y+z-4=0. 15.6. 2x-3y+4z=0. 15.7. 2. 15.8. x+y-z=4. 15.9. . 15.10. . 15.11. 4x+3y=0. 15.12. 4. 15.13. 2x-2y-z+12=0; 2x-2y-z-18=0. 16.1. 1) , 2) . 16.2. 11/26. 16.3. . 16.4. . 16.5. ; . 16.6. . 16.7. . 17.1. (1,2,3). 17.2. (48/19, -53/19, 70/19). 17.3. (-31/14; 27/14; 20/14). 17.4. (197/75, 46/75, 10/ 75). 17.5. (1,4,-7). 17.6. (A(4,1,-3)). 17.7. (0,-3,-2). 17.8. 10x-21y+8z+3=0. 17.9. 13x-14y+11z+51=0. 17.10. 6x-4y+z=0. 17.11. -2x+16y+13z-31=0. 17.12. . 17.13. . 17.14. d=3, 2x+y+2z-8=0. 18.1. 1) при эллипсоид, при пустое множество; 2) при эллипсоид, при однополостной гиперболоид, при эллиптический цилиндр; 3) при двуполостной гиперболоид, при однополостной гиперболоид, при конус; 4) при эллиптический параболоид; при прямая; 5) при гиперболический цилиндр; при пара пересекающихся плоскостей. 18.2. . 18.3. 1) А(2,2,2), R=2 ; 2) А(-1,-2-3), R= . 18.4. 1) эллипсоид: центр О(-1,-1,-1), полуоси , , , плоскости симметрии ; 2) двуполостной гиперболоид: центр О(-3,1,1), вершины А(-5,1,1),

В(-1,1,1), ось симметрии , плоскости симметрии . 18.5. 1) параболический цилиндр; 2) эллиптический параболоид; 3) эллиптический параболоид; 4) однополостной гиперболоид; 5) конус; 6) двуполостной гиперболоид; 7) гиперболический параболоид; 8) эллиптический цилиндр. 18.6. 1) эллипсоид; 2) конус; 3) параболический цилиндр; 4) эллиптический параболоид, 5) однополостной гиперболоид.

19.1. a) ; б) ; в) ; г) . 19.2. а) ; б) ; в) ; г) . 19.3. а) четная; б) общего вида; в) нечетная.

19.4. а) ; б) непериодическая. 19.5. . 22.3. а) 10; б) 0; в) ∞. 22.4. а) 5; б) -0,5; в) ∞; г) 0. 22.5. а) 1; б) 0,5; в) 3/2; г) -2/3; д) 0,5 при и 0 при ; е) ∞ при и -1,5 при . 22.6. а) -1; б) 3; в) 1/9 при и -4 при . 22.7. а) 1; б) 2. 22.8. а) 1,875; б) 0,2. 23.1. а) -6; б) -1/3; в) ∞; г) 0,375; д) -4,5; е) ;

ж) 0; з) 6. 23.2. а) 3; б) 2; в) ; г) -1/4; д) ∞. 23.3. а) -1; б)0; в) 1; г) -5; д) ∞; е) ∞; ж) 0; з) 2, 5 при ∞ при . 24.1. а) 1; б) 2; в) 1,25; г) ∞; д) 0; е) 1; ж) -1/8; з) 0,7; и) 27; к) 0,25; л) -6; м) 0,5. 24.2. а) е⁸; б) е; в) е^-12; г) 1; д) ∞; е) 1; ж) 0; з) 1/12; и) ∞; к) -0,04; л) 0. 25.1. а) 1; б) ; в) -2; г) 0; д) 42; е) ; ж) 12; з) 6; и) 0,25; к) 9; л) 1; м) е^-2. 26.1. х=2 – точка устранимого разрыва. 26.2. х=3 – точка разрыва II рода

26.3. х=0 – точка неустранимого разрыва I рода. 26.4. х=0 – точка устранимого разрыва. 26.5. функция непрерывна. 26.6. х=-1 – точка устранимого разрыва, х=1 – точка неустранимого разрыва I рода. 26.7. х=0 – точка разрыва II рода. 27.1. а) ; б) ; в) . 27.2. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) . 27.3. а) ; б) ; в) ; г) .

27.4. касательная , нормаль . 27.5.

27.6. . 27.7. . 27.8. . 27.9. . 27.10. а) ; б) ; в) ; г) . 27.11. а) -1; б) ; в) -1; г) . 28.1. а) ; б) ; в) ; г) . 28.2. а) 0,05; б) 0,00582; в) -0,24; г) -0,0693; д) 0,3466. 28.3. а) 0,50025; б) 0,995; в)0,77; г) 0,355; д) 0,52164; е) 1,0025; ж) 1,15; з) 0,02. 28.4. 3% 29.1. . 29.2. а) ; б) ; в) . 29.3. а) ; б) . 29.4. а) ; б) ; в) . 29.5. а) ; б) ;

в) . 29.6. . 29.7. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) .

29.8. а) 0,4724; б) -0,5108; в) 2,0203; г) 0,309; д) 0,1974; е) 0,9759. 30.1. a) 0,5; б) ; в) 0; г) 0; д) 1,6; е) 1; ж) ; з) 6; и) 1; к) -1. 30.2. а) 0; б) 0; в) -1; г) ; д) .

30.3. а) 0; б) 1; в) 1; г) 1. 31.1. а) функция возрастает на и , убывает на ; б) функция возрастает на и , убывает на ; в) функция возрастает на , убывает на ; г) функция возрастает на , убывает на и ; д) функция возрастает на , убывает на ; е) функция возрастает на и , убывает на ; ж) функция возрастает на , убывает на и ; з) функция возрастает на , убывает на ; и) функция возрастает на , убывает на ; к) функция возрастает на , убывает на . 31.2. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д)

31.3. ; 31.4. .

31.5. . 31.6. .

32.1. a) (0;0) и (1;2) – точки перегиба; функция выпукла вверх на и , выпукла вниз на (0;1); б) (1;2) – точка перегиба; функция выпукла вверх на , выпукла вниз на ; в) - точки перегиба; функция выпукла вверх на , выпукла вниз на ; г) (0;0) – точка перегиба; функция выпукла вверх на и , выпукла вниз на и ; д) (0;0) и (2;0) – точки перегиба; функция выпукла вверх на и , выпукла вниз на (0;2); е) - точка перегиба; функция выпукла вверх на , выпукла вниз на ; ж) (0;0), и - точки перегиба; функция выпукла вверх на , (-1;0) и , выпукла вниз на (0;1) и ; з) - точка перегиба; функция выпукла вверх на , выпукла вниз на ;

и) - точка перегиба; функция выпукла вверх на , выпукла вниз на ; к) (-3;1) – точка перегиба; функция выпукла вверх на , выпукла вниз на (-3;-2) и . 33.1. а) ; б) - правосторонняя; - левосторонняя асимптоты; в) - правосторонняя асимптота; г) - двусторонняя асимптота; д) е) асимптоты отсутствуют ж) - правосторонняя асимптота з) - двусторонняя асимптота.

35.1. а) ; б) ; в) 35.2. а) ; 36.1. а) ;

53.1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) 0. 53.2. а) 0; б) ; в) -8; г) ;

д) 28; е) ; ж) . 54.2. а) ;

б) ; в) ; г) ;

д) . 55.1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) 1) ; 2) . 56.1. а) ; б) ; в) 8; г) ; д) 4; е) ; ж) ; з) ; и) .

60.3. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к) .

61.1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ж) ;

з) .

61.2. а) ; б) ; в) ; г) .

62.1. а) ; б) ;в) ; г) ; д) . 62.2. ; б) .

63.1. а) ;б) ; в) ; г) ;

д) . 63.2. а) ; б) ;в) . 63.3.

а) ; б) ; в) ; г)

64.1. а) ; б) ; в) ;

г) . 64.2. а) ; б) ; в) ;г) ;

д) ; е) ; ж) ; з)

65.1. а) ; б) ; в) ;

г) . 65.2. а) ;

б) ; в) ;

г) ;

д) ;

е) ; ж) ;

з) . 65.3. а) ;

б) ; в) .

66.1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к)

Рекомендуемая литература

1. И.В. Асташова, В.А. Никишкин. Геометрия и топология. М., МЭСИ, 2004.

2. А.Н. Малахов, В.А. Никишкин. Практикум по высшей математике. М., МЭСИ, 2004.

3. А.Н. Малахов, Н.И. Максюков, В.А. Никишкин. Высшая математика. М., МЭСИ, 2001.

4. Д.Б. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука, 1975.

5. Л.А. Беклемишева, Ю.А. Петрович, И.А. Чубаров. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М., Наука, 1987.

6. Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. М.,ЮНИТИ, 1998.

7. Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу, М., ФИЗМАТЛИТ, 2007.

8. В.А. Малугин. Линейная алгебра. Задачи и упражнения. М.,ЭКСМО, 2006.

9. И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре.М., «Наука», 1978.

10. Д.К. Фаддеев, И.С. Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М., Наука», 1977.