Формула полной вероятности. Формула Бейеса

4.1 При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23%, в третьей 7% всех коров. Вероятность того, молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4% жирности, для каждой группы коров соответственно равна 0,6; 0,35 и 0,1. Взятая наудачу корова дает молоко жирностью не менее 4%. Найти вероятность того, что эта корова из второй группы.

4.2 Перед посевом 90% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0,08, для растений из необработанных семян – 0,4. Взятое наудачу растение оказалось пораженным. Какова вероятность того, что оно выращено из партии обработанных семян?

4.3 На предприятии 24 человека обучаются на заочном факультете университета. Из них 6 - на механическом, 12 – на экономическом и 6 – на юридическом факультетах. Вероятность успешно сдать все экзамены на предстоящей сессии для студентов механического факультета равна 0,6, экономического – 0,76, юридического – 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый студент, сдавший успешно экзамен, окажется студентом юрфака.

4.4 Для посева заготовлены семена 3 сортов пшеницы. Причем 20% всех семян 1-го сорта, 30% - 2-го сорта, 50% - 3-го сорта. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 40 зерен, для первого сорта равна 0,5, для второго – 0,3, для третьего – 0,2. Найти вероятность того, что наугад взятое зерно даст колос, содержащий не менее 40 зерен.

4.5 Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

4.6 При хороших метеоусловиях вероятность благополучной посадки самолета равна 0,9999, при плохих – 0, 9991. Для данного аэропорта в 80% случаев погода считается летной. Найти вероятность благополучного приземления самолета.

4.7 В обувном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью 0,05; ученик – с вероятностью 0,15. Поступившее их цеха изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил мастер?

4.8 В данный район изделия поставляются двумя фирмами в соотношении 5:8. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%. Взятое наугад изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно изготовлено первой фирмой.

4.9 Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении – с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что фирма получит прибыль.

4.10 Экономист считает, что вероятность роста акций компании в следующем году составит 75%, если экономика страны будет на подъеме, и 30%, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъема равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.

4.11 Оператор радиолокационной станции фиксирует самолет противника с вероятностью 0,8 и принимает помеху за самолет с вероятностью 0,1. Практика показала, что в 15% случаев на экран оператора попадает помеха. Оператор принял решение о наличии в воздушном пространстве самолета противника. Определить вероятность того, что сигнал действительно получен от самолета.

4.12 Летчик катапультируется в местности, 60% которой занимают леса. Вероятность благополучного приземления в лесу равна 0,3, а в безлесной местности – 0,9. Какова вероятность благополучного приземления летчика?

4.13 Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,75, а при наличии конкурирующего товара равна 0,25. Вероятность выпуска конкурентом товара равна 0,35. Найти вероятность того, что товар будет иметь успех.

4.14 Мышь может выбрать наугад один из 3 лабиринтов. Вероятности ее выхода из лабиринтов за три минуты соответственно равны 0,5; 0,6; 0,2. Пусть оказалось, что мышь выбралась из лабиринта через три минуты. Какова вероятность, что это был третий лабиринт.

4.15 Три экономиста предложили одновременно экономические теории, которые считались равновероятными. После наблюдения над состоянием экономики оказалось, что вероятность того развития, которое она получила на самом деле, в соответствии с первой теорией составила 0,5; со второй – 0,7; с третьей 0,4. Каким образом это изменяет вероятности правильности трех теорий?

4.16 В магазине продается 4 магнитофона. Вероятности того, что они выдержат гарантийный срок, соответственно равны: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Найти вероятность того, что взятый наудачу магнитофон выдержит гарантийный срок.

4.17 В магазин поступают телевизоры трех заводов. Вероятность того, что в течение года телевизор не будет иметь неисправность, равна для первого завода 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,99. Случайно выбранный телевизор в течение года вышел из строя. Какова вероятность того, что он изготовлен на втором заводе?

4.18 На склад обувной фабрики поступают сапоги от трех бригад одного цеха. В первой бригаде производится в полтора раза больше сапог, чем во второй бригаде, и в два раза меньше, чем в третьей. Вероятность того, что сапог окажется стандартным для первой бригады, равна 0,8, для второй – 0,7, для третьей – 0,9. Взятый наугад сапог оказался стандартным. Найти вероятность того, что он произведен первой бригадой.

4.19 Из 30 студентов группы 8 студентов знают все 40 вопросов программы, 12 студентов выучили по 30 вопросов, 7 студентов – по 25 вопросов, трое – по 15 вопросов. Случайно вызванный студент ответил на два заданных вопроса. Какова вероятность, что он из семи студентов, которые подготовили 25 вопросов?

4.20 В сентябре вероятность дождливого дня 0,3. Команда «Экономист» выигрывает некоторую игру в ясный день с вероятностью 0,8, а в дождливый день эта вероятность равна 0,3. Известно, что в сентябре команда выиграла некоторую игру. Найти вероятность, что в этот день шел дождь.

4.21 На сборку поступило 50 деталей от первого станка, 100 – от второго, 150 – от третьего. Первый станок дает 2%, второй 1% и третий 2% брака. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется не бракованной.

4.22 Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в 2 раза больше производительности второго. Вероятность изготовления не бракованной детали первым автоматом равна 0,95, а вторым – 0,8. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется стандартной.

4.23 Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием равна 0,1, вторым – 0,15. Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется нестандартным.

4.24 Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0,4, во втором – 0,6, в третьем – 0,8. Найти вероятность того, что покупатель купит товар в каком-нибудь магазине. Покупатель купил товар. Найти вероятность того, что он купил его в третьем магазине.

4.25 В студенческом стройотряде две бригады первокурсников и одна бригада второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юноши и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. Найти вероятность того, что выбран юноша.

4.26 Бросается монета. Если сверху оказывается герб, вынимаем один шар из первой урны, в противном случае – из второй урны. В первой урне 3 красных и 1 белый шар, во второй – 3 белых и 1 красный шар. Найти вероятность того, что вынутый шар красный.

4.27 Турист заблудился в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведет 5 дорог. Если турист пойдет по 1-ой дороге, то вероятность выхода из леса в течение часа составляет 0,6; по 2-ой – 0,3; по 3-ей – 0,2; по 4-ой – 0,1; по 5-ой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по 1-ой дороге, если через час он вышел из леса?

4.28 У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью 0,7; на втором месте – с вероятностью 0,6; на третьем – с вероятностью 0,5. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

4.29 Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студенты первой, второй и третьей группы попадут в сборную института соответственно равны: 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот студент?

4.30 В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму.