Теоремы сложения и умножения вероятностей

3.1 Из 25 студентов группы 12 занимаются научной работой на кафедре бухгалтерского учета, 7 – экономического анализа, остальные - на кафедре статистики. Какова вероятность того, что два случайно отобранных студента занимаются научной работой на кафедре статистики?

3.2 Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятности попадания в эти зоны при одном выстреле соответственно равны 0,1; 0,35 и 0,4. Найти вероятность: а) попадания в первую и третью зону; б) промаха по мишени.

3.3 Автобус перед выходом на линию осматривается двумя механиками. Вероятность того, что первый механик обнаружит неисправность в автобусе, равна 0,8, а второй – 0,9. Если хотя бы один механик обнаружит неисправность, то автобус отправляется на ремонт. Найти вероятность того, что автобус не будет выпущен на линию.

3.4 Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Приобретено три билета. Какова вероятность выиграть хотя бы по одному из них?

3.5 В магазин вошли три покупателя. Вероятность того, что каждый что-нибудь купит, равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) по крайней мере два из них совершат покупки; б) ни один не совершит покупок.

3.6 Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором - 0,35, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) хотя бы на одном предприятии.

3.7 Читатель в поисках нужной книги обходит три библиотеки. Вероятность того, что она имеется в очередной библиотеке, равна 0,3. Что вероятнее – найдет читатель книгу или нет?

3.8 Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что отдельный студент сдаст экзамен на «отлично», равна для первого студента 0,7, для второго – 0,6, для третьего – 0,2. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан на «отлично»: а) только одним студентом; б) хотя бы двумя студентами.

3.9 Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй - 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Определить вероятность того, что: а) оба студента правильно ответят на вопрос; б) хотя бы один правильно ответит на вопрос.

3.10 В первой бригаде 6 тракторов, во второй – 9. В каждой бригаде трактор требует ремонта. Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Какова вероятность того, что: а) оба трактора исправны; б) один требует ремонта.

3.11 На предприятии имеется три автомобиля. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,9, второго – 0,7, третьего – 0,8. Найти вероятность безотказной работы всех трех автомобилей в течение определенного времени.

3.12 Консультационная фирма получила приглашение для выполнения двух работ от двух международных корпораций. Руководство фирмы оценивает вероятность получения заказа от корпорации А, равной 0,8; от корпорации В – равной 0,75. Найти вероятность того, что будут получены оба заказа.

3.13 На сессии студенту предстоит сдать экзамены по трем предметам. Студент освоил 90% вопросов по первому предмету, 95% по второму и 50% по третьему. Какова вероятность того, что студент успешно сдаст все экзамены.

3.14 В течение года две фирмы имеют возможность, независимо друг от друга, обанкротиться с вероятностями 0,06 и 0,09. Найти вероятность того, что в конце года обе фирмы будут функционировать.

3.15 На спортивных соревнованиях вероятность показать рекордный результат для первого спортсмена равна 0,5, для второго – 0,3, для третьего – 0,1. Какова вероятность того, что: а) рекорд будет установлен одним спортсменом; б) рекорд не будет установлен?

3.16 В студии телевидения 3 телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включается в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включены две камеры.

3.17 Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6 и собирается произвести 4 выстрела. Найти вероятность того, что он попадет в цель хотя бы два раза.

3.18 В магазине продается 4 магнитофона. Вероятности того, что они выдержат гарантийный срок, соответственно равны: 0,91; 0,90; 0,95; 0,94. Найти вероятность того, что взятый наудачу магнитофон выдержит гарантийный срок.

3.19 На спортивных соревнованиях вероятность показать рекордный результат для первого спортсмена равна 0,5, для второго – 0,3, для третьего – 0,1. Найти вероятность того, что рекорд будет установлен только одним спортсменом.

3.20 Коэффициенты использования рабочего времени у двух машин 0,8 и 0,6 соответственно. Считая, что остановки в работе каждой машины возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время: а) совместной работы машин; б) простоя обоих машин.

3.21 На участке работают две бригады. Вероятность выполнения плана первой бригадой равна 0,8, второй – 0,9. Найти вероятность выполнения плана хотя бы одной бригадой.

3.22 Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Минск, 8 – в Гомель, 7 – в Витебск. Найти вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город.

3.23 На обувной фабрике в отдельных цехах производятся подметки, каблуки и верхи ботинок. Дефектными оказываются 0,5% каблуков, 2% подметок, 4% верхов. Произведенные каблуки, подметки и верхи случайно комбинируются в цехе, где шьются ботинки. Найти вероятность того, что изготовленная пара ботинок будет содержать дефекты.

3.24 Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,94, на второй – 0,95, на третьей – 0,84 и на четвертой – 0,67. Найти вероятность того, что: только на одной базе не окажется нужного материала; на двух базах будет нужный материал.

3.25 Покупатель может приобрести необходимое лекарство в трех аптеках: А, В, С. Вероятность того, что данное лекарство будет в аптеке А равна 90 %, в аптеке В – 85 %, в аптеке С – 84 %. Чему равна вероятность того, что: только в одной аптеке будет данное лекарство; хотя бы в одной аптеке будет данное лекарство.

3.26 В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, равна 0,2; 0,3; 0,1 соответственно. Найти вероятность того, что включены: два электродвигателя; хотя бы один электродвигатель.

3.27 На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4; второго – 0,5; третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления: трех препятствий; не менее двух препятствий.

3.28 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

3.29 По информации аналитиков прибыль предприятия после реализации продукции на рынке сбыта может существенно зависеть от форс-мажорных причин (снижение цен на реализуемую продукцию, скачок цен на конвертируемую валюту, появление активной конкуренции в сегменте рынка и т.д.). Особенности политики фирмы таковы, что выгодным для предприятия считается состояние рынка, при котором происходит менее трех форс-мажоров. Составить событие и найти его вероятность, учитывая, что состояние рынка выгодно для предприятия, если вероятности наступления каждого из форс-мажорных обстоятельств равны 0,1; 0,3; 0,2; 0,4 соответственно.

3.30 Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.