Гипотезы о параметрах распределений

1) По двум независимым выборкам, объемы которых n ₁=11 и n ₂=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии =0,76 и =0,38. При уровне значимости α=0,05, проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н₁: D(X)>D(Y).

2) Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=17 и по ней найдено исправленная выборочная дисперсия s² =0,24. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀ : σ²= σ²₀=0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁: σ²>0,18

3) На уровне значимости 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу Н₀: M(X)=M(Y) о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей X и Y при конкурирующей гипотезе Н₁: M(X)>M(Y) по малым независимым выборкам, объемы которых n =10 и m =16. Получены следующие результаты:

x_i 12,3 12,5 12,8 13,0 13,5

n_i 1 2 4 2 1

y_i 12,2 12,3 13,0

m_i 6 8 2

4) По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота m/n=0,14. При уровне значимости 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу Н₀: р = р₀ =0,20при конкурирующей гипотезе Н₁: р ≠0,20.

5) По выборке объема n=50 найден средний размер =20,1 мм диаметра валиков, изготовленных автоматом номер 1; по выборке объема m=50 найден средний размер =19,8 мм диаметра валиков, изготовленных автоматом номер 2. Генеральные дисперсии известны: D(X)=1,750 мм² и D(Y)=1,375 мм². Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀ : M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁: M(X)≠M(Y). Предполагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.

6) За смену отказали 15 элементов устройства №1, состоящего из 800 элементов и 25 элементов устройства №2, состоящего из 1000 элементов. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: р₁ = р₂ о равенстве вероятностей отказа элементов обоих устройств при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ ≠ р₂

7) Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением s =5,2 извлечена выборка объема n=100 и по ней найдено выборочное среднее =27,56. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: а=а₀= 26 при конкурирующей гипотезе Н₁: а≠ 26.

8) По двум независимым выборкам, объемы которых n ₁=14 и n ₂=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии =0,84 и =2,52. При уровне значимости α=0,1, проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н₁: D(X)≠D(Y).

9) По выборке объема n=16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдено выборочное среднее =118,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=3,6. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: а=а₀= 120при конкурирующей гипотезе Н₁: а ≠120. Решить эту задачу приняв в качестве конкурирующей гипотезе Н₁: а < а₀ =120.

10) По двум независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18 извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние: =31,2 и =29,2 и исправленные дисперсии =0,84 и =0,40. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀ : M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁: M(X)≠M(Y).

11) В результате длительных наблюдений установлено, что вероятность полного выздоровления больного, принимающего лекарства А равна 0,8. Новое лекарство В назначено 800 больным, при чем 660 из них полностью выздоровели. Можно ли считать что новое лекарство значимо эффективнее лекарства А на 5% уровне значимости.

(Указание: Нулевая гипотеза Н₀: р =0,8, Н₁: р ≠0,8)

12) Решить задачу №4 при конкурирующей гипотезе Н₁: р < р₀.

13) Проектный контролируемый размер изделий, изготовляемый станком автоматом, а=а₀ =35 мм. Измерение 20 случайно отобранных изделий дали следующие результаты:

контролируемый размер x_i 34,8 34,9 35 35,1 35,3

частота (число изделий) n_i 2 3 4 6 5

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: а=а₀= 35при конкурирующей гипотезе Н₁: а ≠35.

14) По двум независимым выборкам, объемы которых n ₁=9 и n ₂=6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии D_B(X)=14,4 и D_B(Y)=20,5. При уровне значимости 0,1, проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н₁: D(X)≠D(Y).

15) Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n=21 и по ней найдено исправленная выборочная дисперсия s²=16,2. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀ : σ²= σ²₀=15, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н₁: σ²>15.

16) Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера значимо не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема n=121, оказалась равной =0,3. Можно ли принять партию при уровне значимости 0,01?

17) Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,03. Среди случайно отобранных 400 изделий оказалось 18 бракованных. Можно ли принять партию?

18) По двум независимым выборкам, объемы которых n =40 и m =50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние: =130 и =140. Генеральные дисперсии известны: D(X)=80 и D(Y)=100. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀ : M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе Н₁: M(X)≠M(Y).

19) Химическая лаборатория произвела в одном и том же порядке анализ 8 проб двумя методами. Итоги оказались следующими:

Указано содержание некоторого вещества в % в каждой пробе - первый метод: x_i 15 20 16 22 24 14 18 20

Указано содержание некоторого вещества в % в каждой пробе - второй метод: y_i 15 22 14 25 29 16 20 24

Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или не значимо различаются средние результаты анализов, в предположении, что они распределено нормально.

Тема 5. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ: