Sinmxcosnxdx

n=2k+1, (cos2x)^k , затем подстановка sinx = t

6)∫sinαx sinβx = ½(cos(α-β)x – cos(α+β)x;

∫cosαx cosβx = ½(cos(α-β)x + cos(α+β)x;

∫ sinαx cosβx = ½(sin (α-β)x + cos(α+β)x

Билет 34. Интегрирование иррациональых функций.

1) ∫R(x, (ax+b/cx+d)^r1/s1)dx

Интеграл берётся с помощью замены ax+b/cx+d = t^N, где N – наименьший общий знаменатель дробей

2) ∫R(x, (корень из a²-x²)dx, a = sint

3) ∫R(x, (корень из a²+x²)dx, a = tgt

4) ∫R(x, (корень из x²-a²)dx, a = a/cost

5) Дифференциальный бином: x^m(axⁿ+b)^pdx

1) p – целое

2) m+1 – целое, подстановка axⁿ+b=t^s, где p=r/s

3) m+1/n+p – целое, подстановка axⁿ+b=t^sxⁿ,

6) Подстановки Эйлера R(x, (корень из ax²+bx+c)

1) Если а>0, то корень из ax²+bx+c = t+-кор. из ах

2) Если а<0, то корень из ax²+bx+c = xt+-кор. из c

3) Если ax²+bx+c имеет различные действительные корни х1 и х2, то корень из ax²+bx+c = t(x-x1)

Билет 35. Нахождение пути по скорости. Интеграл Римана. Алгебраические свойства интеграла. Свойства, связанные с отрезками интегрирования. Интегральные неравенства и оценки, 1-я теорема о среднем.

Определение пути по заданной скорости. S=Vt (равномерное прямолинейное движение). Рассмотрим движение материальной точки. ∆t – малый промежуток времени. V(t) ≈ V(t0).

∆S=S(t0+ ∆t)-S(t0). Разобьём промежуток [t0; t] на n частей: [t0; t1] итд. и обозначим

∆k = t_k-t_k-1. Тогда приближённый путь равен: S(t)-S(t0) = ∆S ≈ V(T1)(t1-t0) + V(T2)(t2-t1)

и т.д., если max ∆kà0, D и Eà∆S

Определение. Пусть f(x) задана на [a; b] и пусть существует конечное I такое, что для для любого ε>0 найдётся δ>0 такая, что |I- δ |< ε при условии, что параметр разбиения с отмеченными точками λ (P; ξ)< δ. Тогда функция называется интегрированной по Римену на [a;b], число I называют пределом инт.

Пределы интегрирования.