Схема нахождения

1) Находим крит. точки, стационарные точки.

2) Находим значения функции в этих точках и на концах отрезка

3) Выбираем наиб. и наим. значения

Билет 26. Выпуклость, вогнутость функции – геометрическое и аналитическое определения. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) функции. Достаточное условие перегиба.

Кривая называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если для всех точек этого интервала касательная лежит выше (ниже) точек кривой за исключением точки касания.

Геометрическое определение. Функция называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если на этом интервале её график является выпуклой (вогнутой) кривой.

Аналитическое определение. Функция y=f(x) называется выпуклой (вогнутой) на (a; b), если для любых х1, х2 из этого интервала (х1<x2) выполняется неравенство: f((x1+x2)/2) > (f(x1)+f(x2))/2 (для вогнутой первое выражение с – и <)

Достаточное условие выпуклости. Пусть y=f(x) дважды непрерывна и диф. на (a; b) и f ‘’(x)>0 (f ‘’(x)<0) для любого х из этого интервала. Тогда f(x) вогнута (выпукла) на (a; b)

Перегиб. Точка х0 называется точкой перегиба функции или графика функции y=f(x), если в этой точке график меняет своё направление выпуклости.

Достаточное условие перегиба. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и дважды непрерывна и диф. в проколотой окрестности этой точки. Пусть в т. f ‘’(x) меняет свой знак. Тогда х0 – точка перегиба f(x).

Доказательство:

Пусть f ‘’(x)<0 слева и f ‘’(x)>0 справа от т. х0. Тогда функция выпукла слева и вогнута справа от т. х0. Тогда х0 – точка перегиба по определению.