Выбор U и dV

1) ∫x^ksinaxdx итд. За U(х) берём x^k, а за dV sinax, e^ax итд

2) ∫x^klnxdx, ∫x^karcsinxdx. За U(x) берём трансцендентную функцию, а за dV x^k

3) ∫e^axsinbxdx. За U(x) берём e^ax, а за dV sinx/cosx ДВАЖДЫ!

∫e^2xsinxdx = (e^2x(2sinx-cosx)/5)+C

Билет 32. Рациональные дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Многочлен – алгебраическое выражение вида a₀+a₁x+a₂x²…a_nxⁿ

Рациональная дробь. Обозначим P_m(x) и Q_n(x) многочленами степени m и n. Рациональная дробь R(x) – отношение двух этих многочленов: R(x) = P_m(x)/Q_n(x). Если дробь правильная, то m<n, если неправильная, то m>=n. Если дробь неправильная, то можно выделить целую часть делением числителя на знаменатель уголком.

Разложение рациональной дроби на простейшие. Qn(x) = an*(x1-c1)^ν1*(x2-c2)^ν2*(xl-cl)^νl*(x2+px+q_n) ^νn (1)

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей 4 типов:

A/(x-a), A/(x-a)^k, (Mx+N)/(x²+px+q), (Mx+N)/(x²+px+q)^k

В разложении P_m(x)/Q_n(x) на элементарные дроби сомножителю (x-a)^k будет соответствовать сумма k дробей вида A1/(x-a) + A2/(x-a)² + … + Ak/(x-a)^k (метод неопределённых коэффициентов)

Интегрирование простейших дробей.

Интегрирование рациональных дробей. Неопределённый интеграл от нерациональной дроби существует на любом промежутке, где её знаменатель не обращается в 0 и представляется в виде суммы рациональных функций, log, arctg итд.