Доказательство. Рассмотрим функцию где число выберем таким, чтобы выполнялось равенство которое равносильно следующему:

Рассмотрим функцию

где число выберем таким, чтобы выполнялось равенство которое равносильно следующему:

Заметим, что так как в противном случае согласно Теореме Роллясуществовала бы точка такая, что g’(c)=0 вопреки условиям данной теоремы. Из равенства следует, что

Так как функция при любом непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), а при значении , определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках a и b, то по теореме Ролля существует точка такая, что т.е. откуда Из этого равенства и формулы следует

1. Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши
2. Замечание. Теорему Коши нельзя получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.