Определение. Рассмотрим функцию . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке :

Так как и не равны значению функции в точке, то точка - точка устранимого разрыва.

16. Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о прохождении функции через нуль и через промежуточное значение

Непрерывность функции на множестве

Функция , , называется непрерывной на множестве , или говорят, что функция принадлежит множеству всех функций, непрерывных на множестве (сокр. ), если она непрерывна в каждой точке множества .

Например, функция непрерывна на множестве , но не является непрерывной на , поскольку в точке она не задана.

Если функцию доопределить при , то – точка разрыва второго рода.

Выделим свойства функций, непрерывных на отрезках
(на сегментах).

ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА

Всякая функция, непрерывная на сегменте, ограничена на нем, т.е. , ; .

Приведем пример функции (заданной для удобства графически), иллюстрирую-щей содержание теоремы.

Обратное утверждение не имеет места, для этого достаточно указать соответствую-щий пример – контрпример.

Контрпример.

Множество – ограниченное, но функция не является непрерывной на .

ПРИМЕРЫ на существенность условий теоремы

1. Если не является непрерывной на , то множество значений ее может быть неограниченным (заключение теоремы не имеет места).

ПРИМЕР. на имеет точку разрыва второго рода ; множество – неограниченное.

2. Если непрерывна на множестве , но – не является
сегментом, то множество значений функции на может оказаться неограниченным.

ПРИМЕР. , .

Доказательство теоремы проведем методом от противного.

Пусть – неограниченное множество, т.е. .

Последовательность – ограниченная и из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность, т.е. .

Тогда в силу предположения для всякого и
при .

Но по условию теоремы непрерывна в точке , , и – конечное число.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .

Доказательство [показать]

Следствия[править | править исходный текст]

· (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть и Тогда такое, что

· В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.

Замечание[править | править исходный текст]

· Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно^[1]. На самом деле они эквивалентны.

Обобщение[править | править исходный текст]

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция , определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство и функция Пусть и Тогда

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.

Теоремы об ограниченности функции, непрерывной на отрезке (1-я теорема Вейерштрасса) и о достижении такой функцией точных верхней и нижней граней ее значений (2-я теорема Вейерштрасса).