Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.
Пример
Рассмотрим функцию . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке :
Так как и не равны значению функции в точке, то точка - точка устранимого разрыва.
16. Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о прохождении функции через нуль и через промежуточное значение
Непрерывность функции на множестве
Функция , , называется непрерывной на множестве , или говорят, что функция принадлежит множеству всех функций, непрерывных на множестве (сокр. ), если она непрерывна в каждой точке множества .
Например, функция непрерывна на множестве , но не является непрерывной на , поскольку в точке она не задана.
Если функцию доопределить при , то – точка разрыва второго рода.
Выделим свойства функций, непрерывных на отрезках
(на сегментах).
ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
Всякая функция, непрерывная на сегменте, ограничена на нем, т.е. , ; .
Приведем пример функции (заданной для удобства графически), иллюстрирую-щей содержание теоремы.
Обратное утверждение не имеет места, для этого достаточно указать соответствую-щий пример – контрпример.
Контрпример.
Множество – ограниченное, но функция не является непрерывной на .
ПРИМЕРЫ на существенность условий теоремы
1. Если не является непрерывной на , то множество значений ее может быть неограниченным (заключение теоремы не имеет места).
ПРИМЕР. на имеет точку разрыва второго рода ; множество – неограниченное.
2. Если непрерывна на множестве , но – не является
сегментом, то множество значений функции на может оказаться неограниченным.
ПРИМЕР. , .
Доказательство теоремы проведем методом от противного.
Пусть – неограниченное множество, т.е. .
Последовательность – ограниченная и из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность, т.е. .
Тогда в силу предположения для всякого и
при .
Но по условию теоремы непрерывна в точке , , и – конечное число.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Формулировка[править | править исходный текст]
Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .
Доказательство [показать]
Следствия[править | править исходный текст]
· (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть и Тогда такое, что
· В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.
Замечание[править | править исходный текст]
· Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно[1]. На самом деле они эквивалентны.
Обобщение[править | править исходный текст]
Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция , определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство и функция Пусть и Тогда
В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.
Теоремы об ограниченности функции, непрерывной на отрезке (1-я теорема Вейерштрасса) и о достижении такой функцией точных верхней и нижней граней ее значений (2-я теорема Вейерштрасса).
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 798 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!