Арифметические операции над непрерывными функциями. Суперпозиция функций. Теорема о непрерывности сложной функции

Теор.5.2.1 о непрерывности суммы, произведения, частного. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х0. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)±.g(x), f(x)g(x), (частное - в случае, когда g(х0)¹0).

Док-во непосредственно следует из теор.4.4.10 раздела 4.4.6 "Арифметические действия с пределами". Для примера докажем непрерывность частного. Пусть f(x), g(x) непрерывны в точке х0, т.е. , , причём g(х0)¹0. По теор.4.4.10 существует , и этот предел равен , что означает непрерывность функции в точке х0. Курс лекций по математике Уравнение плоскости Решение дифференциальных уравнений

Теор.5.2.2 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки t0 и имеет , равный х0. Пусть точка принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда существует , и . Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции

Док-во. Возьмём "e>0. Так как f(x) непрерывна в точке х0, то $s>0, такое что | х- х0|<sÞ Þ | f(x)- f(x0)|<e. Так как существует = х0, то для s $d>0, такое что 0<| t- t0|<d Þ

Þ |j (t)- х0|<s. Таким образом, для "e>0 мы нашли такое d>0, что из 0<| t- t0|<dÞ

Þ | f(x)- f(x0)|= | f(j (t))- f()|<e, что означает существование предела и равенство этого предела величине .

Теор.5.2.3 о непрерывности суперпозиции непрерывных функций. Пусть функция непрерывна в точке точке t0. Пусть точка принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда сложная функция непрерывна в точке t0.

Док-во непосредственно следует из предыдущей теоремы. Так как j (t) непрерывна в точке t0, то . Поэтому , что и означает непрерывность сложной функции в точке t0.

Введём понятие сложной функции. Пусть функции и определены на множестве X и Y соответственно, причём множество значений функции содержится в области определения функции f Тогда функцию, принимающую при каждом значение , называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций и f и обозначают .

Теорема. Если функция z=f(y) непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём , то в некоторой окрестности точки определена сложная функция , и эта функция непрерывна в точке .

○ Пусть задано произвольное число . В силу непрерывности функции f в точке существует число такое, что и

(2)

где .

В силу непрерывности функции в точке для найденного в (2) числа

можно указать число такое, что

(2')

Из условий (2) и (2') следует, что на множестве определена сложная функция , причём

,

где , т.е.

.

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция непрерывна в точке .●