Нахождение условных экстремумов (метод неопределенных множителей Лагранжа)

Общая постановка задачи:

Найти все экстремумы и наибольшее, а также наименьшее значения функции , определенной в области , для точек , удовлетворяющих дополнительным условиям:

(5.12)

где - действительные функции, определенные в .

Необходимые условия существования условного экстремума.

Пусть функции непрерывно дифференцируемы в и ранг функциональной матрицы равен . Положим, что

(5.13)

(функция является функцией Лагранжа с множителями - произвольные действительные числа). Если в точке при дополнительных условиях (5.14) имеет экстремум, то справедливы соотношения:

а) (5.14)

б)

Таким образом, необходимым условием существования условного экстремума функции в точке при дополнительных условиях являются следующие уравнений с количеством переменных и :

(5.15)