3 страница. 23. По выборке В решить следующие задачи:

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

Вариант 6.

1. В магазин поступило 40 телевизоров, причем 15 из них фирмы «LG». Найти вероятность того, что среди пяти проданных телевизоров 3 окажутся фирмы «LG».

2. Бросают 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех верхних гранях выпадут нечетные числа.

3. Слово «КАЛЬКУЛЯТОР» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) КАЛЬКУЛЯТОР, б) КУЛАК.

4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них:

а) 3 белых шара;

б) менее трех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,1. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 5 раз в серии из 7 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 150 и не более 170 раз в серии из 530 независимых испытаний.

6. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти вероятность того, что среди 1000 изделий ровно 40 бракованных.

7. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй – 6 белых и 4 черных шара. Из первой и второй урн случайным образом вынимают по 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров три белых шара.

8. В первой бригаде 5 рабочих имеют рабочий одного до трех лет., 7 рабочих – от трех до пяти лет и 4 рабочих – свыше пяти лет. Во второй бригаде 6 рабочих имеют рабочий одного до трех лет., 3 рабочих – от трех до пяти лет и 5 рабочих – свыше пяти лет. Из первой бригады во вторую переведен один рабочий. Найти вероятность того, что рабочий, наудачу взятый из нового состава второй бригады, имеет стаж менее 5 лет.

9. На плоскости начерчены 2 концентрические окружности, радиусы которых 6см и 12см соответственно. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями.

10. Дан закон распределения случайной величины :

X
p	0,2	0,2	0,3	0,3

Найти функцию распределения , значение . Вычислить вероятность того, что примет значение из интервала . Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения дискретной случайной величины :

Задать закон распределения случайной величины в виде таблицы.

1. Задан закон распределения дискретной случайной величины:

X
p	0,05	0,15	0,2	0,1	0,5

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

13. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. вероятность отказа каждого элемента в отдельном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших элементов в данном опыте. Вычислить начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно.

14. Вероятность положительного исхода отдельного испытания равна 0,8. оценить вероятность того, что при 1000 независимых испытаний отклонение частоты положительных исходов от вероятности по абсолютной величине будет меньше 0,05.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 300 соединений произойдет:

а) ровно 4 неправильных соединения;

б) больше двух неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией распределения

Найти функцию распределения случайной величины . Построить графики функций и . Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

17. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти а) параметр ;

б) плотность распределения ;

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 500 независимых испытаний случайная величина примет 220 раз значение из указанного интервала.

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Найти выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 1,2. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка ;

б) меньшее 15;

в) большее 10;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 8.

21. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти вероятность того, что отклонение значений этой случайной величины от математического ожидания не превзойдет по абсолютной величине 2.

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности.

Выборка А:

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

Вариант 7.

1. В библиотеку поступило 40 учебников, из них 3 с поврежденными переплетами. Какова вероятность того, что среди двух наудачу взятых учебников окажется ровно 1 с поврежденным переплетом?

2. Бросают 3 монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет «герб».

3. Слово «АРИФМЕТИКА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) АРИФМЕТИКА, б) РИФМА.

4. В урне содержится 6 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:

а) 4 белых шара;

б) менее четырех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,1. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 5 раз в серии из 7 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 250 и не более 280 раз в серии из 530 независимых испытаний.

6. При контролируемом производственном процессе доля брака равна 0,02. При обнаружении в партии из 150 изделий более 5 бракованных вся партия задерживается. Найти вероятность того, что партия будет принята.

7. В первой урне 5 белых и 8 черных шаров, а во второй – 7 белых и 5 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй – 1 шар. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров два белых шара.

8. По объекту производятся 3 одиночных независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. для вывода объекта из строя достаточно трех попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6, при одном – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.

9. Стержень длины L произвольным образом разломлен на три части. Какова вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник?

10. Дан закон распределения случайной величины :

X		2,4		3,5
p	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти функцию распределения , значение . Вычислить вероятность того, что примет значение из интервала . Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения дискретной случайной величины :

Задать закон распределения случайной величины в виде таблицы.

1. Задан закон распределения дискретной случайной величины:

X
p	0,12	0,08	0,02	0,18	0,6

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

13. На пути движения автомобиля 4 светофора. Каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найти закон распределения числа пройденных автомобилем светофоров до первой остановки. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

14. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей 0,997 можно было утверждать, что частота выпадения герба будет между 0,499 и 0,501?

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,001. Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдет:

а) ровно 2 неправильных соединения;

б) больше двух неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией распределения

Найти функцию распределения случайной величины . Построить графики функций и . Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

17. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти а) параметр ;

б) плотность распределения ;

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 120 независимых испытаний случайная величина примет 80 раз значение из указанного интервала.

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Найти выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,4. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка ;

б) меньшее 10;

в) большее 15;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 9.

21. При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка подчинена нормальному закону со средним значением 20м и дисперсией 1600см². Найти вероятность того, что измеренное расстояние отклонится от действительного не более чем на 30м.

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности.

Выборка А:

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

Вариант 8.

1. В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, приобретено 7 билетов на дискотеку. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 3 девушки и четверо юношей.

2. Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится «герб».

3. Слово «ПАМЯТЬ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) ПАМЯТЬ, б) ЯМА.

4. В урне содержится 4 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:

а) 4 белых шара;

б) менее четырех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,9. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 4 раза в серии из 5 независимых испытаний;

б) событие А наступит 2 раза в серии из 50 независимых испытаний;

в) событие А наступит не менее 40 и не более 60 раз в серии из 100 независимых испытаний.

6. Вероятность того, что данное изделие будет забраковано, равна 0,2. Найти вероятность того, что в партии из 400 изделий будет 104 бракованных.

7. В первой урне 6 белых и 3 черных шара, а во второй – 5 белых и 6 черных шаров. Из первой и второй урн случайным образом вынимают по 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.

8. Автомобиль используется для перевозки товара в три магазина. В первом магазине разгрузка выполняется в течение 30 минут с вероятностью 0,77, во втором – 0,67, в третьем – 0,62. На базу сообщили, что машина разгружена за 30 минут. Какова вероятность того, что это произошло в первом магазине?

9. На плоскости область G ограничена эллипсом , а область g ограничена этим же эллипсом и эллипсом . В область G наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она попадет в область g.

10. Дан закон распределения случайной величины :

X
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Найти функцию распределения , значение . Вычислить вероятность того, что примет значение из интервала . Построить многоугольник распределения.