1 страница. 1. В конверте среди 30 фотографий находится одна разыскиваемая

Вариант 1.

1. В конверте среди 30 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлекают 10 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

2. Бросаются 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся нечетные количества очков.

3. Слово «ПРОГРАММА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют а) слово ПРОГРАММА, б) слово РАМА.

4. В урне содержатся 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них:

а) 3 белых шара;

б) менее трех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 170 и не более 180 раз в серии из 250 независимых испытаний.

6. Всхожесть семян некоторого растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдут не менее 700.

7. В первой урне 5 белых и 5 черных шаров, а во второй – 4 белых и 8 черных шаров. Из обеих урн случайным образом вынимают по 2 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.

8. Литье в болванках поступает из двух цехов: 60% из первого цеха и 40% из второго. Литье первого цеха имеет 5% брака, второго – 10% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность того, что она изготовлена первым цехом?

9. В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошена точка . Найти вероятность того, что корни уравнения действительны.

10. Дан закон распределения случайной величины :

X	–2
p	0,2	0,1	0,5	0,2

Найти функцию распределения , значение . Вычислить вероятность того, что примет значение из интервала . Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения дискретной случайной величины :

Задать закон распределения случайной величины в виде таблицы.

12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:

X
p	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

13. В баскетбольную корзину бросают мяч до первого попадания. Разрешается сделать не более трех бросков. Составить закон распределения количества выполненных бросков, если вероятность попадания при одном броске равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выполненных бросков.

14. Электростанция обслуживает сеть из 2000 ламп, вероятность включения каждой из которых равна 0,8. Какова вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 50?

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,02. Найти вероятность того, что среди 100 соединений произойдет:

а) ровно 2 неправильных соединения;

б) больше трех неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения

Найти функцию распределения случайной величины . Построить графики функций и . Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

17. Случайная величина задана функцией распределения

Найти а) параметр ;

б) плотность распределения ;

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная величина примет 150 раз значение из интервала .

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Найти выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,4. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка ;

б) меньшее 8;

в) большее 6;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 7.

21. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали , которая распределена нормально с проектной длиной 50. Известно, что мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали находится в пределах от 55мм до 68мм.

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности.

Выборка А:

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

Вариант 2.

1. Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажутся 3 дамы?

2. Бросают 3 монеты. Найти вероятность того, что только на одной монете появится герб.

3. Слово «СТАТИСТИКА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) СТАТИСТИКА, б) ТАКТ.

4. В урне содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:

а) 2 белых шара;

б) менее двух белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,12. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 2 раза в серии из 3 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 65 и не более 70 раз в серии из 300 независимых испытаний.

6. 30% изделий данного предприятия – продукция высшего качества. Некоторая организация приобрела 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность того. что ровно 4 из них высшего сорта?

7. В первой урне 4 белых и 5 черных шаров, а во второй – 5 белых и 8 черных шаров. Из первой урны наудачу извлекают 2 шара, а из второй – 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только 3 белых шара.

8. В группе спортсменов 10 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. вероятность выполнения квалификации для лыжника равна 0,9, для велосипедиста – 0,7, для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что вызванный наудачу спортсмен выполнит норму.

9. В прямоугольник с вершинами и наудачу брошена точка с координатами . Какова вероятность того, что они будут удовлетворять неравенствам ?

10. Дан закон распределения случайной величины :

X
p	0,1	0,1	0,3	0,5

Найти функцию распределения , значение . Вычислить вероятность того, что примет значение из интервала . Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения дискретной случайной величины :

Задать закон распределения случайной величины в виде таблицы.

12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:

X
p	0,1	0,12	0,3	0,08	0,4

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

13. Монету подбрасывают 5 раз. Построить закон распределения количества выпадений герба. Сколько раз в среднем может появиться герб? Найти дисперсию числа выпадений герба.

14. Определить, сколько раз надо произвести замеров поперечных сечений деревьев на большом участке, чтобы с вероятностью 0,98 средний диаметр дерева отличался от истинного значения не более чем на 4см. Предполагается известным, что среднее квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 12см, и измерения производятся без погрешностей.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003. Найти вероятность того, что среди 100 соединений произойдет:

а) ровно 5 неправильных соединения;

б) больше трех неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения

Найти функцию распределения случайной величины . Построить графики функций и . Вычислить для этой случайной величины математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

17. Случайная величина задана функцией распределения

Найти а) параметр ;

б) плотность распределения ;

в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина примет значение из интервала ;

г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;

д) вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная величина примет 320 раз значение из интервала .

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Найти выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 3,2. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение

а) из промежутка ;

б) меньшее 8;

в) большее 5;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 6.

21. Масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с г и г. Найти вероятность того, что масса одной пойманной рыбы составит не более 450г.

22. По выборке А решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности.

Выборка А:

23. По выборке В решить следующие задачи:

а) составить вариационный ряд,

б) вычислить относительные и накопленные частоты,

в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,

г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

д) при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности.

Выборка В:

Вариант 3

1. Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношенных. При включении устойства случайным образом начинают работать 2 элемента. найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

2. Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что на двух из них появится герб.

3. Слово «ПРОЦЕДУРА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют слово а) ПРОЦЕДУРА, б) ЦЕДРА.

4. В урне содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них:

а) 3 белых шара;

б) менее трех белых шаров;

в) хотя бы 1 белый шар.

5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,45. Вычислить вероятности следующих событий:

а) событие А наступит 4 раза в серии из 7 независимых испытаний;

б) событие А наступит не менее 200 и не более 290 раз в серии из 500 независимых испытаний.

6. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. какова вероятность того, что некто, приобретя 8 облигаций, выиграет по шести из них.

7. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй – 6 белых и 3 черных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй 1 шар. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы 1 белый шар.

8. Прибор может работать в трех режимах: нормальном, форсированном и недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60% случаев работы прибора, форсированный – в 30% и недогруженный – в 10%. Надежность прибора в нормальном режиме равна 0,8, в форсированном – 0,5, в недогруженном – 0,9. Найти вероятность надежной работы прибора.

9. Взяты наугад 2 положительных числа, каждое из которых не больше 1. Какова вероятность того, что их сумма не более 1, а произведение не более ?

10. Дан закон распределения случайной величины :

X			0,1
p	0,3	0,1	0,4	0,2

Найти функцию распределения , значение . Вычислить вероятность того, что примет значение из интервала . Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения дискретной случайной величины :

Задать закон распределения случайной величины в виде таблицы.

12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:

X
p	0,15	0,3	0,05	0,2	0,3

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

13. В студии имеются 3 видеокамеры, работающие независимо друг от друга. Для каждой камеры вероятность включения в определенный момент времени равна 0,6. Составить закон распределения числа включенных в данный момент видеокамер. вычислить математическое ожидание и центральные моменты 2-го и 3-го порядков.

14. В результате независимых опытов найдены 200 значений случайной величины, у которой математическое ожидание равно 4, а дисперсия равна 2. Оценить снизу вероятность того, что абсолютная величина разности между средним арифметическим найденных значений и математическим ожиданием этой случайной величины меньше0,2.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 соединений произойдет: