Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Произвольные дискретные распределения



Пример 1. Дискретная СВ X задана рядом распределения.

X          
P 0,3 0,2 0,1 0,3 0,1

Найти: 1) функцию распределения F (x);

2) M (X), D (X), s(X), моду M 0(X);

3) P (2≤ X < 8).

Решение. 1) Найдем функцию распределения F (x) и построим ее график. Для дискретной СВ X по формуле (1.8)

2) Найдем числовые характеристики распределения ДСВ X. По определению математическое ожидание

M (X) = 1 × 0,3 + 2 × 0,2 + 4 × 0,1 + 6 × 0,3 + 8 × 0,1 =

= 0,3 + 0,4 + 0,4 +1,8 + 0,8 = 3,7.

Для вычисления дисперсии D (X) используем формулу (1.21) где

= 12 × 0,3 + 22 × 0,2 + 42 × 0,1 + 62 × 0,3 + 82 × 0,1 =

= 0,3 + 0,8 + 1,6 +10,8 + 6,4 = 19,9

D (X) = 19,9 – (3,7)2 = 6,21.

По формуле (1.22) найдем среднее квадратическое отклонение,

Данное распределение является бимодальным, так как максимальная вероятность p = 0,3 соответствует двум значениям СВ X.

M 0 = 1 или M 0 = 6

3) Найдем вероятность P (2≤ X < 8).

При непосредственном вычислении вероятность равна

P (2≤ X < 8) = P (X = 2) + P (X = 4) + P (X = 6) = 0,2 + 0,1 + 0,3 = 0,6

Если используем функцию распределения, то получим тот же результат.

P (2≤ X < 8) = F (8) – F (2) = 0,9 – 0,3 = 0,6.

Пример 2. В партии из 10 изделий 6 изделий высшего сорта и 4 первосортных. Наудачу выбираются 3 изделия. Составить ряд распределения случайной величины X – числа изделий первого сорта среди отобранных. Найти M (X) и s(X).

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать следующие значения: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3. Распределение СВ X – гипергеометрическое, с параметрами N = 10, M = 4, n = 3.

В соответствии с общей формулой (1.31)

можно утверждать, что для рассматриваемого примера

Используя эту формулу, получим:

Выполним проверку:

Составим ряд распределения случайной величины X:

xi        
pi

Найдем M (X) по формуле (1.16)

По формуле (1.22)

найдем среднее квадратическое отклонение, при этом для вычисления дисперсии D (X) воспользуемся формулой (1.21)

где

Тогда

Пример 3. В партии из 10 изделий 6 изделий высшего сорта и 4 первосортных. Наудачу по одному, одно за другим, без возвращения в партию выбираются изделия до тех пор, пока не будет выбрано изделие высшего сорта. Составить ряд распределения случайной величины X – числа отобранных при этом изделий первого сорта. Найти F (X) и M (X).

Решение. Множество возможных значений дискретной случайной величины X: {0; 1; 2; 3; 4}.

Найдем вероятности, соответствующие этим значениям.

Пусть событие Аii -ое выбранное изделие первого сорта. Тогда i -ое выбранное изделие высшего сорта. Так как события Ai зависимые, то при определении вероятностей P (X = xi) будем использовать теорему умножения вероятностей для зависимых сомножителей.

Выполним проверку:

Составим ряд распределения СВ X:

xi          
pi

Найдем функцию распределения F (x). Для этого разделим числовую ось на непересекающиеся промежутки возможными значениями случайной величины X и найдем значения F (x) на каждом из промежутков, используя формулу (1.8)

Итак,

Найдем M (X) по формуле (1.16)





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 404 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.01 с)...