Произвольные непрерывные распределения

Пример 1. Непрерывная СВ X задана функцией распределения

Найти: 1) плотность распределения f (x); 2) M (X); 3) P (1 < X < 2);
4) найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях СВ X примет ровно два раза значения из интервала (1, 2).

Решение. 1) Найдем .

2) Используя формулу (1.17) для нахождения математического ожидания непрерывной СВ X, найдем

3) Вероятность того, что СВ X примет значения, заключенные в интервале (1, 2), по формуле (1.10) равна

4) Для нахождения искомой вероятности применим формулу Бернулли. Здесь n = 3, m = 2, p = 0,28, q = 1 – p = 0,72.

Пример 2. Задана функция f (x)

Определить значение параметра A, при котором эта функция задает плотность распределения вероятности некоторой СВ X. Найти F (X),
P (1 < X < 3), M (X), D (X).

Решение. Используя свойство нормированности плотности распределения , определим значение параметра A, при котором данная функция задает плотность распределения вероятности некоторой непрерывной СВ X.

Тогда

Найдем функцию распределения F (x), используя формулу (1.10)

При x Î (– ¥, 0]

при x Î (0, 2]

при x > 2

Имеем

Найдем числовые характеристики: