Бесконечно малая функция

Определение. Если (т.е. для любого существует , такое, что при справедливо неравенство ) то называется бесконечно малой функцией при . Для сравнения двух бесконечно малых и при находят предел их отношения

. (5)

если , то - бесконечно малая более высокого порядка, чем ;

если , то - бесконечно малая более низкого порядка, чем ;

если , то и - бесконечно малые одного порядка;

если , то и называются эквивалентными величинами: ~ .

Примеры эквивалентных б.м.в (при )

~

~

~

~

~

~

~

~

~

Для раскрытия неопределенности вида можно воспользоваться следующим правилом: если ~ ; ~ при то верны равенства:

АЗ-4

1. Сравнить функции и при

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

2. Доказать, что функцию и при является бесконечно малыми одного порядка.

данные функции одного порядка малости ч.т.д.

3. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

а) б)

в) г)

д) е)

ж)

ИДЗ-4

Задание 1. Сравнить бесконечно малые функции и при

№ вар			№ вар
1.			16.
2.			17.
3.			18.
4.			19.
5.			20.
6.			21.
7.			22.
8.			23.
9.			24.
10.			25.
11.			26.
12.			27.
13.			28.
14.			29.
15.			30.

Задание 2. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые

1.		11.		21.
2.		12.		22.
3.		13.		23.
4.		14.		24.
5.		15.		25.
6.		16.		26.
7.		17.		27.
8.		18.		28.
9.		19.		29.
10.		20.		30.

Задание 3.* Вычислить пределы функций

1.	11.	21.
2.	12.	22.
3.	13.	23.
4.	14.	24.
5.	15.	25.
6.	16.	26.
7.	17.	27.
8.	18.	28.
9.	19.	29.
10.	20.	30.

Решение типового варианта

Задание 1. Сравнить бесконечно малые функции

и при

Решение. Находим

- бесконечно малая более низкого порядка по сравнению с .

Задание 2. Найти пределы, используя эквивалентность бесконечно малых

Задание 3. Вычислить предел функции

а)

Запишем как и перейдем к эквивалентной бесконечно малой ~ , получаем

.

б)

Запишем как ~

как ~ , получим

.