Частные производные функции многих переменных. Градиент

Переменная называется функцией переменных (аргументов) , если каждой системе значений , из области их изменения, соответствует определенное значение .

Функциональная зависимость от символически обозначается: .

Геометрически каждая система значений двух переменных изображается точкой на плоскости, а функция двух переменных - некоторой поверхностью в пространстве; система значений трех переменных изображается точкой в пространстве. Систему значений любого числа переменных называют точкой -мерного пространства , а функцию , зависящую от переменных, называют функцией точки -мерного пространства .

Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел

вычисленный при постоянном значении .

частной производной по называется конечный предел

вычисленный при постоянном значении .

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Пример 2.3. Найти и , если

Решение. При вычислении переменная рассматривается как постоянная величина:

Рассмотрим теперь переменную как постоянную величину:

Найти частные производные от функций:

2.54. 2.55.

2.56. 2.57.

2.58. 2.59.

2.60. 2.61.

2.62. 2.63.

2.64. 2.65.

2.66. 2.67.

2.68. 2.69.

2.70. 2.71.

2.72. 2.73.

2.74. 2.75.

2.76. 2.77.

2.78. 2.79.

Пример 2.4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение. Находим

(при постоянных и );

(при постоянных и );

(при постоянных и ).

Возводим полученные выражения в квадрат и подставляем в левую часть заданного уравнения:

Получаем тождественное равенство, т.е. функция u удовлетворяет заданному уравнению.

Показать, что данные функции удовлетворяют приведенным уравнениям:

2.80.

2.81.

2.82.

2.83.

2.84.

2.85.

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке , координаты которого равны соответствующим частным производным и , вычисленным в точке . Градиент обозначается Аналогично определяется градиент и для функции трех переменных.

Пример 2.5. Найти градиент функции в точке М (-2;3;-1).

Решение. Находим частные производные данной функции:

Вычисляем значение этих производных в точке М (-2;3;-1):

Окончательно получаем grad u(M) =(23; -35; -9).

Найти градиент функции:

2.86. в точке М (0; 3). 2.87. в точке М (1; 1).

2.88. в точке М (1; 1). 2.89. точке М (2; 0; 3).

2.90. в точке М (3; 2; 1).

2.91. в точке М (3; -1; 2).

2.92. точке М (a; b; c). 2.93. точке М (3; -1; 2).