Нахождение пределов числовых

последовательностей. Число

Для вычисления пределов последовательностей используют следующую теорему. Если , , то

, , ,

где

Например, найти пределы следующих последовательностей.

1. (так как при ).

2. .

3. .

4. .

Последовательность с общим членом имеет предел, обозначаемый обычно буквой е, т.е. . Число иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045…).

Это число играет важную роль в математике и ее приложениях. График функции получил название экспоненты. Широкое применение имеет логарифм по основанию , называемый натуральным логарифмом . К числу приводит анализ таких процессов, как рост населения, размножение бактерий, распад радиоактивных элементов.

В экономике число используется, например, в задаче о непрерывном начислении процентов. Пусть вклад в банк денежных единиц и банк выплачивает ежегодно годовых. Найти размер вклада через лет. При использовании простых процентов ежегодно вклад увеличивается на величину , т.е.

.

В финансовых расчетах возникает необходимость применять сложные проценты, когда размер вклада увеличивается в одно и то же число раз, т.е.

, , …, .

Если начислять проценты не один раз в год, а раз, то

.

Пусть они начисляются непрерывно (квартал, месяц, каждый день, час и т.д.). Тогда

.

Эта формула при непрерывном начислении процентов, используется при анализе различных финансовых задач.

Контрольные вопросы

1. Что такое числовая последовательность? Приведите примеры.

2. Сформулируйте определение предела числовой последовательности.

3. Как находится предел числовой последовательности?

4. Как используется число при начислении сложных процентов?