Предел числовой последовательности

Числовая последовательность неограниченно приближается к единице. В этом случае говорят, что последовательность стремится к пределу, равному . При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше, т.е. с ростом модуль будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.

Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется такое натуральное число N, что при всех N выполняется неравенство . В этом случае пишут

и говорят, что последовательность имеет предел, равный . Также говорят, что последовательность сходится к . Последовательность не может иметь два различных предела.

Используя логические символы: квантор общности (для любого) и квантор существования (найдется), символ равносильности , определение предела последовательности можно коротко записать так:

( N: n>N ).

Геометрический смысл определения предела последовательности состоит в следующем. Неравенство равносильно неравенствам или , которые показывают, что член находится в – окрестности точки , начиная с некоторого номера .

Ясно, что чем меньше , тем больше число N, и в любом случае внутри – окрестности точки – находится бесконечное число членов последовательности, а вне нее может быть лишь конечное их число.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Для постоянной последовательности . Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел (теорема Вейерштрасса).