Решение. а) Интеграл вычислим непосредственным интегрированием

а) Интеграл вычислим непосредственным интегрированием. Получим:

.

Ответ: .

б) Интеграл вычислим методом замены переменной интегрирования. Замену переменной интегрирования выполним методом подведения функции под знак дифференциала, используя для этого таблицу дифференциалов основных элементарных функций (Приложение 6.3). Получим:

.

Замечание. Замену переменной интегрирования в данном интеграле можно выполнить и следующим образом. Положим . Тогда , откуда . Подставив все это в интеграл, получим:

Ответ: .

в) Интеграл вычислим методом интегрирования по частям, используя формулу .

Положим: , . Найдём ,

.

Интеграл в формуле интегрирования по частям вычисляется с точностью до постоянной, т.е. в качестве функции выбирается одна из первообразных для функции .

Для вычисления интеграла можно использовать и следующее свойство неопределённого интеграла: если , то , где - табличный интеграл. В данном случае, так как , то .

Тогда, получим:

Ответ: .

г) Интеграл относится к интегралам вида . Для его вычисления сначала выделим полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, затем сделаем замену переменной интегрирования. Получим:

=[ представляем интеграл в виде суммы интегралов ] .

Вычислим каждый из интегралов в отдельности: 1)

.

Одним из часто выполняемых преобразований является преобразование: , где - некоторые числа.

2)

Тогда:

.

Ответ: .

Конечное выражение для неопределённого интеграла записывают, указывая одну из первообразных и добавляя к ней произвольную постоянную .

д) Интеграл относится к интегралам от рациональных дробей. В данном случае подынтегральная функция является правильной рациональной дробью.

Для вычисления интеграла, сначала разложим дробь на простые дроби: , где неизвестные постоянные найдем методом неопределенных коэффициентов. Для этого выражение в правой части разложения приведем к общему знаменателю:

и приравняем числители правой и левой дробей. Получим:

Два многочлена одинакового порядка равны, тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях .

Приравняв соответствующие коэффициенты этих многочленов, получим систему линейных уравнений относительно : .

Решив систему (например, методоми Гаусса или Крамера), найдем , , . Тогда .

Затем подставим это разложение в исходный интеграл и используем свойство линейности интегралов.

, где -некоторые числа.

Получим: .

Вычислим теперь каждый из интегралов в отдельности:

1) .

2) .

3) .

Тогда получим: .

Ответ: .

е) Интеграл относится к интегралам вида . Вычисление интеграла сводим методом замены переменной интегрирования к вычислению табличных интегралов от новой переменной, с последующей обратной заменой переменной.

Так как для подынтегральной функции выполняется условие , то сделаем подстановку . Получим:

.

Ответ: .

11-20. Вычислить определённые интегралы:

а) б)

Определённый интеграл для функции , непрерывной на отрезке , вычисляют по формуле Ньютона-Лейбница: , где -одна из её первообразных, используя для нахождения все приёмы и методы вычисления неопределённых интегралов.

Следствиями формулы Ньютона-Лейбница являются:

1) формула интегрирования по частям , где функции и непрерывно дифференцируемы на ;

2) формула замены переменной интегрирования

, где функция - непрерывно дифференцируема на отрезке . Часто замена переменной в определённом интеграле выполняется с помощью подстановки по формуле: , где функция - непрерывно дифференцируема на отрезке .