Понятие о дифференциалах высших порядков

Для дифференцируемой функции y=fix) согласно (10.2) dy=f'(x)dx, т.е. дифференциал функции есть функция от двух аргументов: х и dx.

Будем полагать, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от х В этом случае dy есть некоторая функция х, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциа­лом) d²y функции y=fix) называется дифференциал от диффе­ренциала первого порядка этой функции, т.е.

d²y=d(dy). (10.5)

Аналогично дифференциалом п-го порядка (или n -ым дифферен­циалом) d ⁿy называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции, т.е. d"y =d(d^n-1y).

Найдем выражение для d²y. По определению d²y=d(dy)= =d(f'(x)dx). Так как dx не зависит от х, т.е. по отношению к пе­ременной х является постоянной величиной, то множитель dx можно вынести за знак дифференциала, т.е.

d²y =dxdf'(x)=dx[f'(x)] 'dx=f"(x) (dx)².

Итак, d²y=f"(x)dx², (10.6)

где dx² = (dx)², а в общем случае

dⁿy = f^т(x)dx, (10.7)

т.е. дифференциал второго (и вообще п-го) порядка равен произведе­нию производной второго (п-го) порядка на квадрат (п-ю степень) и дифференциала независимой переменной

Из формул (10.6) и (10.7) следует, что

и вообще (10.8)