Правило применения критерия Пирсона c²

Выборочным средним 1/n∑ х_i n_i называют среднее арифметическое всех выборочных значений

Выборочной дисперсией называют среднюю арифметическую квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего ;

Можно показать, что Д _в может быть подсчитана по формуле:

Выборочное среднее квадратов отклонения выборки определяется по формуле:

Исправленная выборочная дисперсия S² определяется по формуле:

S= S² называют исправленным выборочным среднеквадратичным отклонением^. В случае интер. Статистического ряда в качестве х_i берут середины его интервалов, а в качестве n_i – соответствующие им частоты интервалов.

Р_m=Р(ξ=х_m) Эта таблица наз рядом распр-я дискрет СВ.

Числа р_m должны удовл-ть усл-ям:

1) р_m≥0 2) р₁+р₂+…+р_m+…=1

Т.к. в рез-те испытания величина ξ примет 1 из знач-й х₁,х₂…х_m, а р_m – вер-сти несовм. событий { ξ =х_m}, обр-щих полную группу. Полной исчерпывающей хар-кой дискрет СВ явл ф-я распр-ия или ряд распр-я. Если ДСВ принимает знач-я х₁,х₂…х_m… с вер-ми р₁,р₂…р_m…, то ф-я распр-я им вид: F(x)=∑P_i. Здесь ведется измерение по всем i, для кот х_i<х. График ф-ии распр-я ДСВ им ступенчатый вид. Причем ф-я распр-я терпит разрыв в т.хm со скачком величины р_m.

Суммой (разностью, произвед-ем) ДСВ ξ, принимающей знач-я х_i с вер-стью р_i, и ДСВ η, принимающей знач-я у_j с вер-ми p_j, наз ДСВ ζ равная ξ+η (ζ=ξ-η; ζ=ξη), принимающая знач-я z_ij=x_i+y_i (z_ij=x_i-y_j; z_ij=x_iy_j), с вер-ми p_ij для всех указ-х знач-й i,j. В случае совпадения некот. сумм x_i+y_j (разностей, произвед-й), соотв-щие вер-сти склад-ся. Произведение ДСВ ξ на число с наз. ДСВ сξ, принимающая знач-я сх_i с вер-стями p_i.

2 СВ наз независ., если з-н распр-я одной из них не завис от того, какие возм. знач-я приняла др. величина. В против. случае 2 СВ – зависимы.

Рассм. числ. хар-ки ДСВ. МО-ем Мξ ДСВ наз число, равное сумме произведений всех ее возмож знач-й на соотв-щие им вер-сти Мξ=x₁p₁+x₂p₂+…+x_mp_m+… Замечание: из опред-я следует, что МО есть неслучайная(постоян) величина. Вероятностный смысл МО: при большом числе опытов среднее арифмет наблюдаемых знач-й СВ приближается (сходится по вер-сти) к ее МО. Эта завис-т того же типа, как и завис-ть м/у частотой и вер-стью. Св-ва МО: 1) МО постоянной=самой пост-й Мс=с Док-во:

Мξ=с*1=с. 2) Пост множ-ль выносится за знак МО. М(сξ)=с*Мξ

Док-во:

М(с*ξ)=с*х₁*р₁+с* х₂*р₂+…=с(х₁р₁+х₂р₂+…)=с*Мξ, что и т.д.

3) МО произведения независимых СВ=произвед-ю их МО. ξ, η-независ. М(ξ*η)=М ξ*Мη

Док-во: Пусть ξ имеет распред-е

Т.к ξ и η –независимы, то р₁₁=р₁g₁. Т.е. р₁₁=р₁g₁; р₁₂=р₁g₂; p₂₁=p₂g₁; p₂₂=p₂g₂ Тогда М(ξη)=x₁y₁p₁g₁+x₁y₂p₁g₂+x₂y₁p₂g₁+x₂y₂p₂g₂=x₁p₁(y₁g₁+y₂g₂)+ +x₂p₂(y₁g₁+y₂g₂)=(y₁g₁+y₂g₂)(x₁p₁+x₂p₂), что и т.д.

4) МО суммы 2-х СВ=сумме их МО М(ξ+η)=М(ξ)+Мη

Док-во: Пусть ξ и η имеют закон распр-я

М(ξ+η)=(х₁+у₁)р₁₁+(х₁+у₂)р₁₂+(х₂+у₁)р₂₁+(х₂+у₂)р₂₂=х₁(р₁₁+р₁₂)+х₂(р₂₁+р₂₂)+ +у₁(р₁₁+р₂₁)+у₂(р₁₂+р₂₂)

Событие { ξ =х₁} влечет за собой соб-я { ξ +η=х₁+у₁}или { ξ +η=х₁+у₂}. Тогда по теореме сложения вер-стей р₁=р₁₁+р₁₂; р₂₁+р₂₂=р₂; р₁₁+р₂₁=g₁; р₁₂+р₂₂=g₂; Т.е. =х₁р₁+х₂р₂+y₁g₁+y₂g₂=Мξ+ Мη, что и т.д.

5) МО отклонения СВ от ее МО=0 М(ξ-М ξ)=0 По св-вам, МО разности=М ξ-М(М ξ)= =М ξ-М ξ=0, что и т.д. Это св-во объясняется тем, что одни возмлжные отклонения – положительны, а др.-отрицательны. В рез-те из взаимного погашения, среднее знач-е отклонения=0. Поэтому для оценки рассеяния знач-я СВ около ее МО вычисляют среднее знач-е квадрата отклонения, кот.и наз.дисперсией.

Дисперсия Dξ СВ ξ – МО квадрата отклонения СВ от ее МО. Dξ=М(ξ-Мξ)²

Для вычисления дисперсии в большинстве случаев удобно пользоваться формулой:

Dξ=М(ξ)-(Мξ)² Для ДСВ М(ξ)²=х₁²р₁+х₂²р₂+…+х_m²р_m+…

Св-ва дисперсии:

1) Дисперсия постоянной=0 Dc=0 Dc=M(c-Mc)²=M(c-c)²=0

Постоянная величина сохраняет одно и то же знач-е и рассеяния не имеет.

2) Пост.множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(cξ)=M(cξ-M(cξ))²=M(cξ-cMξ)²=M(c²(ξ- Mξ))=c²M(ξ- Mξ)²=c²Dξ, что и т.д.

3) Дисперсия суммы 2-х независимых СВ=сумме их дисперсий.

ξ,η-независ.=> D(ξ+η)=Dξ+Dη

Док-во: D(ξ+η)=M(ξ+η)²-(M(ξ+η))²=M(ξ²+2ξη+η²)-(Mξ+Mη)²=M(ξ²)+2M(ξη)+M(η²)-

-(Mξ)²-2MξMη-(Mξ)²=M(ξ²)-(Mξ)²+M(η²)-(Mη)², что и т.д.

4) Дисперсия разности 2-х независ.СВ=сумме их дисперсий. D(ξη)=Dξ+Dη

5) Дисперсия СВ не изменится, если к ней прибавить постоянную

D(ξ+c)= Dξ

Дисперсия СВ имеет размерность квадрата размерности СВ. Для наглядной хар-ки рассеяния удобно пользоваться величиной, имеющей размерность такую же, как и у СВ. Для этого из дисперсии извлекают квадрат.корень. Полученная величина наз. средним квадратичным отклонением δ_ξ=корень из D_ξ

Для любой СВ D_ξ≥0, δ_ξ ≥0, а Мξ заключ-ся между наим.и наиб.значениями СВ.