Раздел IV. Схема независимых испытаний

§1. Формула Бернулли.

Определение. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события в каждом испытании не зависит от числа других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события .

Будем рассматривать только такие испытания, в которых событие имеет одинаковую вероятность . Тогда вероятность противоположного события также постоянна и равна .

Представляет интерес, когда в испытаниях событие осуществится раз и не осуществится раз.

Вероятность этого сложного события, состоящего из испытаний, определяется формулой Бернулли

.

Пример 12. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет: 1) 2 раза; 2) не менее двух раз.

Решение. Вероятности выпадения любой из двух сторон монеты одинаковы и . 1) Имеем , . По формуле Бернулли находим:

1) ;

2) .

§2. Интегральная теорема Лапласа.

Предположим, что в каждом из испытаний событие появляется с одинаковой вероятностью . Требуется определение вероятности события при изменении в интервале значений: . Такую вероятность обозначают . Приближенное вычисление этой вероятности устанавливается интегральной теоремой Лапласа.

Теорема. Пусть вероятностью наступления события в каждом испытании постоянна, причем . Тогда вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу:

Где , .

Интегральная формула Лапласа применима в случае больших значений и . Кроме того, при применении этой формулы используются таблицы для интеграла ошибок

.

С учетом этого, интегральная формула Лапласа записывается в виде формулы Ньютона-Лейбница

.

Пример 13. Вероятность выпуска бракованных деталей равна 0.3. Найти вероятность того, что среди выпущенных 100 деталей будет не менее 75 стандартных.

Решение. По условию имеем , , . Требование о том, что должно быть не менее 75 деталей стандартных означает изменение от до . Находим , . Далее обращаемся к таблице для интеграла ошибок и получаем значение

.