Математическое ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом)

Пусть проводится исп-й, в каждом событие может произойти с вер-ю p. Наступление или не наступление события А в каждом испытании не зависит от того произошло ли оно (и сколько раз) в предыдущих испытаниях. В этом случае говорят,что имеются независимые повторные испытания.

Пусть X число наступления события А в n независ.испыт.

{ 1 соб.А произо. в i-испыт

Z_i ={ 0 если нет

q=1-p

M(Z_i)=0q+1p=p

M(X²_i)=0²q+1²p=p

D(Zi)=M(Zi²)-(M(Zi))²=p-p²=p(1-p)=pq

X=Z1+Z2+…Zn

M(X)=M(Z1+…Zn)=M(Z1)+…M(Zn)=p+..+p{n раз}=np

D(X)=D(Z1+..+Zn)=D(Z1)+..+D(Zn)=pq+..pq{n раз}=npq

В частости:

X-число наступления соб-я А

Y-частота наступ.соб-я А

Y=X/n

M(Y)=M(X/n)=M(1/n*X)=1/nM(X)=np/n=p

D(Y)=D(X/n)=D(1/n8X)=1/n²D(X)=npq/n²=pq/n

Если n увеличивается то дисперсия Y уменьшается,т.е.значение Y становится ближе к своему среднему значению.