Асимптоты графика функции. Понятие асимптоты уже рассматривалось при изучении формы гиперболы

Понятие асимптоты уже рассматривалось при изучении формы гиперболы.

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рисунок 33).

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или .

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 33 видно, что расстояние точки кривой от прямой равно . Если , то . Согласно определению асимптоты, прямая является асимптотой кривой . Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту (рисунок 34) , так как

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

. (4)

где и (5)

Итак, если существует наклонная асимптота , то k и b находятся по формулам (5).

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (5) то прямая (4) является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (5) не существует или равен бесконечности. То кривая наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если то Поэтому — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание. Асимптоты графика функции при и могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (5) следует отдельно рассматривать случай, когда и когда .

Пример Найти асимптоты графика функции .

Решение. Так как то график функции при наклонной асимптоты не имеет.

При справедливы соотношения

Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту

…