![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Предел функции в точке и при
Предел функции — основной аппарат математического анализа. С его помощью определяется в дальнейшем непрерывность функции, производная, интеграл, сумма ряда.
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может самой точки
.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число b называется пределом функции y = f (x) в точке (или при
), если для любой последовательности допустимых значений аргумента
сходящейся к
(т.е.
), последовательность соответствующих значений функции
сходится к числу b (т.е.
).
В этом случае пишут или
при
. Геометрический смысл предела функции:
означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке
, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа b.
Определение 2 (на «языке e-d », или по Коши). Число b называется пределом функции y = f (x) в точке (или при
), если для любого положительного числа e найдётся такое положительное число d, что для всех
удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
.
Записывают .
Это определение коротко можно записать так:
Заметим, что можно записать и так
.
Геометрический смысл предела функции:
, если для любой e-окрестности точки b найдётся такая d-окрестность точки
, что для всех
из этой d-окрестности соответствующие значения функции f (x) лежат в e-окрестности точки b. Иными словами, точки графика функции y = f (x) лежат внутри полосы шириной 2e, ограниченной прямыми у = b + e, у = b - e (рисунок 17). Очевидно, что величина d зависит от выбора e, поэтому пишут d = d(e).
В определении предела функции считается, что х стремится к
любым способом: оставаясь меньшим, чем
(слева от
), большим, чем
(справа от
), или колеблясь около точки
.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Определение. Число называется пределом функции y = f (x) слева в точке
, если для любого числа e > 0 существует число d = d(e) > 0, такое, что при
, выполняется неравенство
.
Предел слева записывается так или коротко
(обозначение Дирихле) (рисунок 18).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:
Коротко предел справа обозначается
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует
, то существуют оба односторонних предела, причём
.
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела и
и они равны, то существует предел
и
.
Если же , то
не существует.
Определение. Пусть функция y = f (x) определена в промежутке . Число b называется пределом функции y = f (x) при х ® ¥, если для любого числа e > 0 существует такое число М = М (e) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
. Коротко это определение можно записать так:
Если х ® +¥, то пишут
, если х ® -¥, то пишут
, если
=
, то их общее значение принято обозначать
.
Геометрический смысл этого определения таков: для , что при
и
соответствующие значения функции y = f (x) попадают в e-окрестность точки b, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2e, ограниченной прямыми
и
(рисунок 19).
Бесконечно большие функции (б.б.ф)
Бесконечно малые функции (б.м.ф)
Определение. Функция y = f (x) называется бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 существует число d = d(М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
Записывается
или
при
.
Коротко:
Например, функция есть б.б.ф. при
.
Если f (x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут
; если лишь отрицательные значения, то
.
Определение. Функция y = f (x), заданная на всей числовой оси, называется бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 найдётся такое число N = N (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
Записывается
. Коротко:
Например, есть б.б.ф. при
.
Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т.е. , то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность
является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки
является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может не быть б.б.ф. (Например,
)
Однако, если , где b - конечное число, то функция f (x ограничена в окрестности точки
.
Действительно, из определения предела функции следует, что при выполняется условие
. Следовательно,
при
, а эот означает, что функция f (x) ограничена.
Определение. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при , если
По определению предела функции это равенство означает: для любого числа найдётся число
такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
.
Аналогично определяется б.м.ф. при
: Во всех этих случаях
.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначаются обычно греческими буквами a, b и т.д.
Примерами б.м.ф. служат функции
при
Другой пример: - бесконечно малая последовательность.
Пример Доказать, что .
Решение. Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х - 2 (при ), т.е. выполнено равенство
. Следовательно, по теореме 3.4.6 получаем
.
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы (без доказательства), которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка теорем для случаев, когда и
, аналогично. В приводимых теоремах будем считать, что пределы
,
существуют.
Теорема 5.8 Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: .
Теорема 5.9 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.
Следствие 3 Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .
Следствие 4 Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности,
Теорема 5.10 Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
Пример Вычислить
Решение.
Пример Вычислить
Решение. Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида
. Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим на
:
Пример Вычислить
Решение. Здесь мы имеем дело с неопределённость вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на
:
Функция есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому
Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при
предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедится в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.
Первый и второй замечательные пределы
Определение. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
,
называемый первым замечательным пределом.
Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Пример Найти
Решение. Имеем неопределённость вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим
тогда при
и
Пример 3 Найти
Решение.
Определение. Равенства и
называются вторым замечательным пределом.
Замечание. Известно, что предел числовой последовательности
имеет предел, равный е:
. Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближённое значение равно 2,72 (е = 2, 718281828459045…). Некоторые свойства числа е делают особенно удобным выбор этого числа в качестве основания логарифмов. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами и обозначаются
Заметим, что
.
Примем без доказательства утверждение, что к числу е стремится и функция
Если положить то из
следует
. Эти равенства широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция
называется экспоненциальной, употребляется также обозначение
Пример Найти
Решение. Обозначим очевидно,
при
Имеем
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно,
~ x при
т.к.
~ x при
, т.к.
Пример Покажем, что ~
при
.
Решение.
Пример Найдём
Решение. Обозначим Тогда
и
при
. Поэтому
Следовательно, ~ x при
.
Пример Покажем, что ~
при
.
Решение. Так как
то ~
при
.
Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов.
1. ![]() ![]() | 6. ![]() ![]() |
2. ![]() ![]() | 7. ![]() ![]() ![]() |
3. ![]() ![]() | 8. ![]() ![]() |
4. ![]() ![]() | 9. ![]() ![]() ![]() |
5. ![]() ![]() ![]() | 10. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Пример Найти
Решение. Так как ~ 2 x,
~ 3 x при
, то
Пример Найти
Решение. Обозначим , из
следует
. Поэтому
Пример Найти
Решение. Так как ~ (x - 1) при
, то
Пример Найти приближённое значение для .
Решение. . Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 444 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!