Классификация точек разрыва

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если — точка разрыва функции , то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

· Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке . Например, функция не определена в точке (рисунок 26).

·
Функция определена в точке и её окрестности, но не существует предела при .

Например, функция

определена в точке (f (2) = 0), однако в точке имеет разрыв (рисунок 27), т.к. эта функция не имеет предела при :

.

· Функция определена в точке и её окрестности существует но этот предел не равен значению функции в точке : .

Например, функция (рисунок 28). Здесь – точка разрыва, т.к а

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва первого р ода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. и . При этом:

а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева, или справа, или оба вместе) не существует или равен бесконечности.

Обратимся к функциям, рассмотренным выше.

Для функции , — точка разрыва второго рода (рисунок 26).

Для функции является точкой разрыва первого рода (рисунок 27), скачок функции равен

Для функции является точкой устранимого разрыва первого рода (рисунок 28). Положив (вместо ) при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Пример Дана функция . Найти точки разрыва, выяснить их тип.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Очевидно,

Следовательно, , а Поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен