Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема 5.21 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображённая на рисунке 29 функция непрерывна на отрезке , принимает своё наибольшее значение M в точке , а наименьшее m — в точке . Для любого имеет место неравенство .

Следствие 6 Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 5.22 (Больцано–Коши) Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между Α и Β.

Геометрически теорема очевидна (рисунок 30).

Для любого числа С, заключённого между Α и Β, найдётся точка с внутри этого отрезка такая, что Прямая пересечёт график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие 7 Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, в которой данная функция обращается в нуль:

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (рисунок 31).

Следствие 7 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения .

Утверждения теорем 3.21 и 3.22, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из её условий: функция непрерывная не на отрезке , а в интервале , либо функция на отрезке имеет разрыв.

Рисунок 32 показывает, что график разрывной функции не пересекает ось Ох.

Пример Определить с точностью до корень уравнения , принадлежащий отрезку , применив метод половинного деления.

Решение. Обозначим левую часть уравнения через .

Шаг 1. Вычисляем

Шаг 2. Вычисляем

Шаг 3. Вычисляем . Если , то х — корень уравнения.

Шаг 4. При если то полагаем иначе полагаем

Шаг 5. Если то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью ε) принимается величина Иначе процесс деления отрезка пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2.

В результате произведённых действий получим: х = 0,29589.