![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема 5.21 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.
Изображённая на рисунке 29 функция непрерывна на отрезке
, принимает своё наибольшее значение M в точке
, а наименьшее m — в точке
. Для любого
имеет место неравенство
.
Следствие 6 Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 5.22 (Больцано–Коши) Если функция непрерывна на отрезке
и принимает на его концах неравные значения
и
, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между Α и Β.
Геометрически теорема очевидна (рисунок 30).
Для любого числа С, заключённого между Α и Β, найдётся точка с внутри этого отрезка такая, что Прямая
пересечёт график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие 7 Если функция
непрерывна на отрезке
и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка
найдётся хотя бы одна точка с, в которой данная функция
обращается в нуль:
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (рисунок 31).
Следствие 7 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения
.
Утверждения теорем 3.21 и 3.22, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из её условий: функция непрерывная не на отрезке , а в интервале
, либо функция на отрезке
имеет разрыв.
Рисунок 32 показывает, что график разрывной функции не пересекает ось Ох.
Пример Определить с точностью до корень уравнения
, принадлежащий отрезку
, применив метод половинного деления.
Решение. Обозначим левую часть уравнения через .
Шаг 1. Вычисляем
Шаг 2. Вычисляем
Шаг 3. Вычисляем . Если
, то х — корень уравнения.
Шаг 4. При если
то полагаем
иначе полагаем
Шаг 5. Если то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью ε) принимается величина
Иначе процесс деления отрезка
пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2.
В результате произведённых действий получим: х = 0,29589.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 369 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!