Численное и символьное решение систем линейных алгебраических уравнений

Неоднородная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в матричной форме имеет вид АХ = В. Известно, что неоднородная СЛАУ совместна (теорема Кронекера–Капелли), если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, т.е. rank(A) = rank(A|B). Совместная система имеет единственное решение, если rank(A) = rank(A|B) = n, n – размерность матрицы А. Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид X = А^–1 * В, где А^–1 – обратная матрица к матрице А.

В MathCAD для решения СЛАУ имеются встроенная функция lsolve(A, B) и решающий блок Give – Find.

Пример 23. Решить систему матричным методом и с помощью встроенной функции:

Вычисление ранга исходной матрицы и расширенной. Встроенная функция augment(A,B) объединяет две матрицы, имеющие одинаковое количество строк, в одну.

Вывод решения, полученного матричным методом и с помощью встроенной функции lsolve(A, B):

Решающий блок Give–Find можно применять также и для решения систем нелинейных уравнений как в численном, так и в символьном виде. Для численного решения с помощью решающего блока нужно задать начальные значения для неизвестных величин и заключить уравнения в ключевые слова, начинающиеся со слова Given и заканчивающиеся словом Find(varl, var2,...) со знаком =. Для символьного решения системы не надо вводить начальные значения, а вместо знака = ввести символьный знак равно ® из панели Evaluation.

Пример 24. Используя решающий блок Give–Find, найти решение неоднородной системы

Исходные данные

Вычисление ранга матрицы А и расширенной матрицы

Задание начальных условий для неизвестных величин

Начало решающего блока и система уравнений

Нахождение решения системы

Пример 25. Используя решающий блок Give–Find, найти символьное решение СЛАУ вида

Если rank(A) = rank(A|B) < n, то, используя встроенную функцию rref(A), нужно привести матрицу к ступенчатому виду и выбрать базисные и свободные (произвольные) переменные и найти решение системы в зависимости от выбранных свободных переменных.

Пример 26. Найти решение системы АХ = В, где матрица А и вектор В имеют вид

Вычисление рангов матриц:

Приводим расширенную матрицу с помощью встроенной функции rref(A) к ступенчатому виду:

В качестве базисных переменных выбираем X1, Х2; решение системы будет зависеть от свободных переменных Х3, Х4:

Некоторые решения системы:

Однородная СЛАУ АХ=0 имеет нулевое решение, если ранг матрицы А равен количеству неизвестных величин, в противном случае система имеет бесконечное множество решений. Если rang(A) < n, то с помощью встроенной функции rref(A) нужно привести матрицу к ступенчатому виду и выбрать базисные и свободные (произвольные) переменные. Далее находим решение системы в зависимости от свободных переменных.

Пример 27. Найти решения следующих однородных СЛАУ

Вычисляем ранг матрицы системы

Cистема имеет только нулевое решение.