Пример 1. Задача использования сырья

Задача использования сырья. Для изготовления двух видов продукции и используется три вида сырья: . Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице:

Вид сырья	Запас сырья	Кол-во единиц сырья на изготовление единицы продукции
Прибыль от единицы продукции

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Обозначим через количество единиц продукции вида , а через ― количество единиц продукции вида .

Тогда, учитывая количество единиц сырья, расходуемое на изготовление единицы продукции, а также запасы сырья, получим систему ограничений

которая показывает, что количество расходуемого сырья не может превысить имеющихся запасов.

Если продукция не выпускается, то ; в противном случае . Тоже самое получим и для продукции . Таким образом, на неизвестные и должно быть наложено условие неотрицательности: .

Конечную цель решаемой задачи — получение максимальной прибыли реализации продукции — выразим как функцию двух переменных и .

Реализация единиц продукции вида и единиц продукции вида дает соответственно и гривен прибыли; суммарная прибыль

.

Необходимо найти такие неотрицательные значения и , при которых функция достигает максимума, т.е. найти максимальное значение линейной функции при ограничениях

Построенная функция совместно с системой ограничений образует математическую модель рассмотренной экономической задачи.

Задачу использования сырья можно обобщить, если при выпуске п видов продукции используют видов сырья. Обозначим — виды сырья, ―запасы сырья -го вида; — виды продукции; — количество единиц -го сырья, идущего на изготовление единицы -й продукции; — величина прибыли, получаемой от реализации единицы -й продукции.

Искомыми величинами являются объемы выпуска каждого вида продукции . Так как — прибыль, доставляемая единицей -й продукции, единиц доставят единиц прибыли.

Общая прибыль будет равна

.

Это выражение — целевая функция задачи.

Сформируем систему ограничений. Очевидно, — расход -го ресурса на производство единиц -й продукции. Просуммировав расходы -го ресурса на выпуск всех видов продукции, получим общий расход этого ресурса. Он не должен превосходить запаса , т.е

Чтобы искомый план был реален, наряду с ограничениями на ресурсы нужно наложить условие
неотрицательности, т.е. .

Тогда математическую модель задачи можно представить в следующем виде: найти максимальное значение линейной функции при ограничениях:

Нетрудно заметить, что если потребовать, чтобы в процессе производства какое-то сырье использовалось полностью, то ограничение для этого вида сырья запишется в виде уравнения.