 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Ференцирование
|
|
5.1. Понятие производной.
Пусть на некотором промежутке 
определена функция 
. Возьмём любую точку 
и зададим аргументу 
в точке 
произвольное приращение 
такое, что точка 
также принадлежит . При этом функция получит приращение 
.
О п р е е д е л е н и е. Производной функции в точке называется предел при 
отношения прира -щения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).
Для обозначения производной функции в точке используют символы 
или 
.
Итак, по определению
Если функция имеет конечную производную в каждой точке 
, то производную 
можно рассмат -ривать как функцию от , также определённую на .
5.2. Геометрический смысл производной.
Пусть функция определена на интервале 
и пусть точка 
на графике функции соответствует значению аргумента , а точка 
- значению аргумента . Проведём через точки и прямую и назовём её секущей.. Обозначим через 
угол между секущей и осью 
. Очевидно, этот угол зависит от (см. рис.) Если существует 
то прямую с угловым коэффициентом 
, проходящую через точку
, называют предельным положением секущей 
при .
О п р е д е л е н и е. Касательной 
к графику функции в точке называется предельное положение секущей при ..
Таким образом, для существования касательной необходимо и достаточно существование предела 
.
Y
P
M
N
K L 
x
O
Здесь, 
угол это угол 
, угол 
- это угол 
Докажем, что если функция имеет производную в точке , то существует касательная в точке , причём угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс её наклона к оси ) равен значению производной 
.
Действительно, из треугольника 
получаем,
,
Отсюда 
. Перейдём в этом равенстве к пределу при . Так как существует производная
, то существует и предел 
. Тогда существует и предел
.
Следовательно, существует и предел 
.
Но это и означает, что существует предельное положение секущей , т.е. существование касательной. Уравнение касательной к графику функции в точке 
имеет вид 
.
5.3. Понятие дифференцируемости функции.
О п р е д е л е н и е. Функция называется диффе- ренцируемой в точке , если её приращение 
в этой точке можно представить в виде:
, (1)
где 
- некоторое число, не зависящее от 
, а 
- бесконечно малая функция при , т.е. 
Для того, чтобы функция была дифференци -руема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Поэтому для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные. В формуле (1) 
.
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
В самом деле, если функция дифференцируема в точке , то 
, а это и означает непрерывность функции .
Обратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции не следует её дифференцируемость. Примером непрерывной, но не дифференцируемой функции может служить функция 
.
5.4. Понятие дифференциала.
Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. её приращение в этой точке можно записать в виде:
где Слагаемое 
- главная часть приращения функции.
О п р е д е л е н и е. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции в этой точке, т.е. 
(2)
Учитывая, что , формулу (2) можем записать в виде 
. (3)
Если 
, то по формуле (3), 
, т.е. 
. (4)
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной в точке , в то время как - это приращения самой функции в точке и 
.
5.5 Правила дифференцирования.
Если функции 
дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (при условии, что 
) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:
.
Производная постоянной функции равна нулю (
.
Правило дифференцирования сложной функции:
ТЕОРЕМА. Если функция 
имеет производную в
точке 
, а функция имеет произ –
водную в соответствующей точке 
, то
сложная функция 
также имеет произ-
водную в точке и справедлива следующая
формула 
. (1)
Доказательство. Так как функция дифференци -руема в точке , то приращение функции в этой точке может быть записано в виде
, (2)
где 
. Поделив равенство (2) на 
, получим
. (3)
Равенство (3) справедливо при любых достаточно малых . Возьмём равным приращению функции , соот- ветствующему приращению аргумента 
в точке , и устремим в этом равенстве к нулю. Так как, по условию, функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке. Следовательно при 
. Но тогда и 
, т.е. имеем 
(4)
Благодаря соотношению (4) существует предел правой части равенства (3) при , равный 
.
Значит существует и предел при левой части равен -ства (3), который, по определению производной, равен произ -водной сложной функции 
в точке и теорема доказана. Равенство (1) имеет место.
Например, вычислить производную 
, здесь
, тогда по формуле (1), получим, 
.
5.6. Таблица производных сложных функций
Пусть 
, дифференцируемая функция. Тогда для производных сложных функций имеют место следующие формулы:
1. 
;
2. 
;
3. 
$
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
:
9. 
;
10. 
;
11. 
.
В частности, если 
, то 
, и получим обычную таблицу производных.
5.7 Производная неявно заданной функции.
Пусть зависимость между и 
задаётся неявно функцией 
, (1)
Причём, чаще всего, невозможно представление .
Тогда берут производную равенства (1), считая, что 
. При этом, как правило, 
зависит от и Как выполняется дифференцирование в этом случае, лучше посмотреть на примерах.
1. Зависимость между и задаётся формулой:
.
Вычислим производную, учитывая формулу производной сложной функции и правила дифференцирования:
Преобразуем это выражение:
Перегруппируем это равенство, оставив слева слагаемые с , а все остальные слагаемые перенесём в правую часть
Отсюда получаем выражение для :
.
2. Найти , или 
.
.
Вычислим производную левой и правой части равенства:
Тогда
и окончательно,
.
5.8. Логарифмическое дифференцирование.
По правилу вычисления производной сложной функции, 
. Эта формула позволяет вычислять производные довольно сложного вида. В первую очередь к ним относятся, так называемые показательно – степенные функции вида
, где и 
- некоторые функции от (
), имеющие производные в точке .
Прологарифмируем эту функцию:
.
Вычислим производную: 
.
Отсюда, учитывая, что , получим
.
ПРИМЕР. Вычислить производную функции 
Прологарифмируем это выражение:
.
Вычислим производную
,
тогда 
,
или 
.
Учитывая свойства логарифмов (логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного равен разности логарифмов, степень можно выносить за знак логарифма) этот же метод удобно использовать в случае, если функция задана только степенями, корнями, произведениями и дробями.
ПРИМЕР. Найти производную функции
.
Прологарифмируем эту функцию и используем свойства логарифма:
.
Тогда
.
Окончательно,
Если бы мы попытались найти производную этой функции, непосредственно используя правила дифференцирования, получить результат было бы намного сложнее.
5.9. Производные высших порядков.
Как уже отмечалось, производная функции сама является функцией от . Следовательно, по отношению к ней, снова можно поставить вопрос о существовании произ –водной.
Назовём производной первого порядка от функции . Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй про- изводной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей про- изводной) и т.д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются
Рассмотрим несколько примеров
1. Найти 
для функции 
.
Следовательно, 
.
2.. Пусть 
. Найти производную 
.
3. Пусть 
. Тогда 
.
5.10. Параметрически заданная функция и её
дифференцирование
Пусть даны две функции одной независимой переменной 
(1)
определённые и непрерывные в одном и том же промежутке. Если строго монотонна (если 
то 
), то обратная к ней функция 
одно -значна и также строго монотонна. Поэтому можно рас -сматривать как функцию, зависящую от переменной посредством переменной , называемой параметром:
.
В этом случае говорят, что функция от задана параметрически с помощью уравнений (1).
Пример:
Пусть 
. Функция 
убывает на этом промежутке. Тогда данные уравнения задают параметрически заданную функция от .Тогда 
. Так как 
, то это уравнение определяет верхнюю половину окружности: 
.
Предположим теперь, что функции и 
имеют производные, причём 
. Тогда производная 
, или просто, 
.
Например. Найти производную 
для функции
Тогда 
.
Пусть теперь существуют вторые производные 
. Так как первую производную также является параметрически заданной функцией от , т.е.
то её производную вычисляем по той же формуле 
. (2)
Например, пусть 
. Найти 
Тогда 
Следовательно, по формуле (2)
Аналогичным образом можно вычислить производную любого порядка от функции, заданной параметрически.
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛНДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
6.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
ТЕОРЕМА 1 (теорема Ферма). Пусть функция 
опре -
делена на интервале и в некоторой точке
этого интервала имеет наибольшее или наи -
меньшее значение. Тогда, если в точке суще-
ствует производная, то она равна нулю, т.е.
.
Y
a b x
ТЕОРЕМА 2 (теорема Ролля) Пусть на отрезке 
определена функция , причём:
1) непрерывна на ;
2) дифференцируема на ;
3) 
.
Тогда существует точка 
, в которой
.
Доказательство. В самом деле, если функция непре - рывна на , то по 2-й теореме Вейерштрасса, она имеет на этом отрезке максимальное значение и минимальное значение 
, т.е. существуют точки 
, такие что 
и выполняются неравенства:
Возможны два случая: 1) 
2) 
В первом случае, 
. Во втором случае, так как , то хотя бы одно из значений, либо , либо функция принимает внутри интервала , а тогда существует точка , в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение. А так как функция дифференцируема на , то, по предыдущей теореме, .
Геометрически теорема Ролля означает, что у графика функции, удовлетворяющей условию теоремы, существует по крайней мере одна точка, в которой касательная параллельна оси 
. (Равенство означает, что в этой точке тангенс угла наклона касательной равен нулю.)
Следует отметить, что все условия теоремы Ролля существенны, поэтому для выяснения условия применимости теоремы, необходимо проверять выполнение всех трёх условий.
ТЕОРЕМА 3 (теорема Коши). Пусть функции и 
непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интер- вале . Пусть, кроме того 
Тогда существует точка такая, что справедлива формула
. (*)
Доказательство. Так как для всех 
, то 
(в противном случае получили бы противоречие с теоремой Ролля), т.е. формула (*) имеет смысл.
Рассмотрим на отрезке вспомогательную функцию
.
Нетрудно заметить, что 
на отрезке удовле- творяет условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непре- рывна на , как линейная комбинация непрерывных функций. Она дифференцируема на и её производная равна 
. Кроме того, если подставить 
и 
, то получим, что 
.
Тогда, по теореме Ролля, существует точка , такая что 
.
.
Отсюда
.
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ. Формула (*) называется формулой Коши или формулой конечных приращений.
Частным случаем этой теоремы при 
является так называемая теорема Лагранжа.
ТЕОРЕМА 4. (теорема Лагранжа) Пусть на отрезке
определена функция , причём непре-
рывна на отрезке ; дифференци –
руема на интервале . Тогда существует
точ ка , в которой выполняется форму-
ла 
. (**)
Геометрический смысл теоремы Лагранжа: 
Y
f(b) M2
f(c)
f(a) a
M1
a
o a c b x
Величина 
является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки 
и 
графика функции , а - угловой коэффициент касательной к графику функции в точке 
. Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка 
, такая что касательная к графику функции в точке параллельна секущей 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Равенство
называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений..
6.2. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя.
_ Основные виды неопределённостей:
.
Раскрыть неопределённость - это значит вычислить соответствующий предел, если он существует, или установить, что он не существует.
При раскрытии неопределённостей вида 
или 
часто бывает удобно пользоваться правилом Лопиталя.
ТЕОРЕМА (правило Лопиталя). Пусть функции и
определены и дифференцируемы в неко-
торой окрестности точки 
, за исключением мо –
жет быть самой точки . Пусть далее
, или
и 
.
Тогда, если существует предел отношения про-
изводных 
конечный или бесконечный,
то существует и предел отношения функций, и
выполняется равенство 
.
Рассмотрим примеры:
1. 
2. 
3. 
4. 
Пользоваться правилом Лопиталя можно и в случае других видов неопределённостей, но только предварительно нужно получить дробь.. Рассмотрим примеры.
5. 
.
6. 
7. 
(используя пример 5, получим.) 
8.
6.3. Формула Тейлора.
Эта формула является одной из основных формул математического анализа и имеет многочисленные приложения..
Выводить эту формулу мы не будем. Приведём только формулу Тейлора для функции произвольного вида.
Пусть функция непрерывна и имеет 
производную в некоторой окрестности точки , тогда имеет место следующая формула, которая называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
где 
- остаточный член в форме Лагранжа.
Существуют и другие формы остаточных членов. Частным случаем формулы Тейлора является формула Маклорена, которая получается из формулы Тейлора при 
.
Формула Маклорена.
где 
/
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
1. 
. Так как
при 
имеем
, то формула Маклорена имеет вид:
Аналогичным образом, найдя производные 
- го порядка можно получить разложения в ряд Маклорена других функций. Приведем некоторые из них:
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 311 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
