 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Непрерывность функции. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки.
|
|
4.1. Основные определения.
Пусть функция 
непрерывна в некоторой окрестности точки 
.
О п р е д е л е н и е 1. Функция называется непрерыв -ной в точке , если предел функции и её значение в этой точке совпадают, т.е. 
. (1)
Так как 
, то соотношение (1) можно записать в виде 
, т.е. для непрерывной функции можно переставлять знак функции и знак предела.
О п р е д е л е н и е 2. Функция называется непрерыв- ной в точке , если для любой последовательности значе -ний аргумента 
, сходящейся к точке , соответствующая последовательность значений функции в этих точках 
сходится к 
.
О п р е д е л е н и е 3. Функция называется непрерыв- ной в точке , если для любого 
существует 
, такое что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если
, то функцию называют непрерывной в точке справа (слева) Если функция непрерывна в точке справа и слева, то она непрерывна в этой точке.
Так как условия 
и 
равносильны, то неравенство (1) можем переписать в виде
. (2)
Разность 
называется приращением аргумента в точке , а разность 
называется приращением функции в точке . Тогда равенство (2) в новых обозначениях принимает вид
, (3)
Соотношение (3) является ещё одним определением непрерывности функции:
О п р е д е л е н и е 4. Функция называется непрерыв- ной в точке , если её приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при 
, другими словами бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции.
Арифметические действия с непрерывными функциями.
Если функции и 
непрерывны в точке , то функции 
также непрерывны в точке .
О п р е д е л е н и е 5. Функция 
непрерывна на отрезке 
, если она непрерывная в каждой точке этого отрезка.
ЗАМЕЧАНИЕ. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.
4.2. Классификация точек разрыва.
О п р е д е л е н и е 1. Точка называется точкой разрыва функции если в этой точке нарушается её непрерыв -ность.
В соответствии с определениями предыдущего пункта, функция будет непрерывной в точке если в этой точке выполняются все равенства
(4)
В зависимости от того, какое из этих равенств не выпол -няется, получаем различные типы точек разрыва.
1. Устранимый разрыв.
Если 
. Этот разрыв можно устранить, доопределив функцию, положив 
. Например, 
имеет разрыв в точке 
, которая не входит в область определения. Но если преобра -зуем это выражение, то получим
,
т.е. график этой функции - это прямая; точке отвечает выколотая точка на графике. Разрыв можно устранить, поло - жив 
.
2. Разрыв 1-го рода.
Если 
, но оба эти предела конечны, то говорят, что в точке функция имеет разрыв
1-го рода (или «конечный скачок»). Рассмотрим на примерах:
1) 
. Они не совпадают, но оба конечны. Следовательно, в точке 
функция имеет разрыв 1-го рода. На графике это выглядит таким образом:
y
х
-1
3. Разрыв 2-го рода.
Если хотя бы один из пределов 
равен бесконечности, то говорят, что в точке функция имеет разрыв 2-го рода. Например, 
. Точка 
не входит в область определения (точка возможного разрыва). Найдём в этой точке односторонние пределы:
И ещё оценим поведение функции на бесконечности:
Построим схематический рисунок
У
0 х
О п р е д е л е н и е 2. Функция 
называется кусочно –непрерывной на отрезке 
, если она непрерывна во всех внутренних точках отрезка , за исключением, может быть конечного числа точек разрыва 1-го рода и кроме того имеет односторонние пределы на концах отрезка. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно непрерывна на любом отрезке.
Например, рассмотрим функцию
Она задана с помощью трёх функций, каждая из которых непрерывна на своём участке числовой прямой. Разрывы возможны только в точках, где функция меняет своё выражение, т.е. в точках 
и 
Найдём односторонние пределы в этих точках
Пределы не совпадают, следовательно в точке функция имеет разрыв 1-го рода.
Односторонние пределы совпадают. Это означает, что - точка непрерывности функции. Согласно определению, эта функция кусочно-непрерывна на числовой прямой
У
0 1 3 х
Другим примером кусочно-непрерывной на всей числовой прямой функции может служить функция 
(целая часть х), график которой приведён на рис. 4 из пункта 3.2.
4.3. Основные свойство непрерывных функций.
Сформулируем их в виде теорем, доказывать которые не будем.
1 ТЕОРЕМА 1 (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция непрерывна в точке , причём 
. Тогда существует 
- окрестность этой точки такая, что для всех 
функция имеет тот же знак, что и 
.
Посмотрим, как это выглядит на рисунке
Y
x
2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.
ТЕОРЕМА 2 (1-я теорема Больцано – Коши). Пусть функция
непрерывна на отрезке и на концах
отрезка принимает значения разных знаков. Тогда
существует хотя бы одна точка 
, в которой
y
f(b)
a b x
f(a)
Теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей кото- рой является ось 
, в другую пересекает эту ось.
ТЕОРЕМА 3 (2-я теорема Больцано – Коши) Пусть функция
непрерывна на отрезке , причём
. Пусть далее, 
- любое
число между 
и 
. Тогда существует точ –
ка , такая что 
Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.
СЛЕДСТВИЕ. Если функция определена на некотором промежутке 
, то множество её значений представляет аналогичный промежуток 
(т.е. интервал переходит в интервал, отрезок в отрезок и т.п.)
3.. Ограниченность непрерывной функции на отрезке.
Напомним, что функция называется ограниченной на отрезке , если существует число 
такое, что для всех 
выполняется неравенство 
или 
, т.е. график функции не выходит из полосы, ограниченной прямыми 
и 
ТЕОРЕМА 4. (1-я теорема Вейерштрасса) Если функция
определена и непрерывна на отрезке
, то она ограничена этом отрезке.
В §1 были введены понятия точной верхней грани 
и точной нижней грани (
) множества . В соответствии с этим, точной верхней гранью функции называется точная верхняя грань множества её значений и обознача -ется 
. Аналогично определяется точная нижняя грань функции 
- 
. В том случае, если точные грани функции являются значениями функции, то говорят, что функция достигает своих точных граней.
ТЕОРЕМА 5 (2-я теорема Вейерштрасса). Если функция
непрерывна на отрезке , то она
достигает на этом отрезке своих точных
верхней и нижней граней, т. е. существуют
точки 
, такие что
.
Замечание 1 Так как непрерывная функция достигает на отрезке своих точных верхней - 
и нижней - 
Граней, то можно назвать точную верхнюю грань - максималь- ным значением, а точную нижнюю грань - минимальным зна -чением функции . Поэтому теорему 5 можно перефор -мулировать следующим образом: непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное и мини -мальное значение.
Разность между максимальным и минимальным значением непрерывной функции на отрезке называется колебанием непрерывной функции на этом отрезке и обозна –чается 
, где 
.
4.4. Понятие сложной функции.
О п р е д е л е н и е. Если на некотором промежутке определена функция 
с множеством значений 
, а на множестве определена функция 
, то функция 
называется сложной функцией от 
, а пере -менная 
- промежуточной переменной сложной функции.
Например, 
- сложная функция: 
, 
; функция 
- также сложная функция: 
.
ТЕОРЕМА. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке 
Тогда сложная функция непрерывна в точке
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 409 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
