Вательности

1 Сумма или разность бесконечно малых последова- тельностей является бесконечно малой последова -тельностью. (более того, как следствие, алгебраическая сумма (т.е. сумма или разность) любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью).

2 Бесконечно малая последовательность - ограничена.

3 Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую - бесконечно малая последователь- ность. (в частности, при умножении бесконечно малой последовательности на любое число получим бесконеч- но малую последовательность).

4 Произведение двух бесконечно малых последователь- ностей - бесконечно малая последовательность (как следствие, произведение любого конечного числа бес- конечно малых последовательностей является бесконеч- но малой последовательностью).

5 Если все элементы бесконечно малой последователь –ности равны одному и тому же числу , то

Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

ТЕОРЕМА 1 Если - бесконечно большая последова- тельность то является бесконечно малой, и наоборот, если - бесконечно малая последовательность, то последовательность является бесконечно большой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Следует отметить, что у бесконечно большой последовательности только конечное число элементов может быть равно нулю Это следует из определения бесконечно большой последовательности, так как существует номер , начиная с которого для всех элементов выполняется неравенство . Это означает, что для всех элементы последовательности не равны нулю и поэтому последовательность имеет смысл, если её элементы начинать рассматривать начиная с номера . Докажем, что последовательность бесконечно малая. Возьмём произвольное число . Для числа можем указать номер , начиная с которого ве элементы последовательности удовлетворяют неравенству . Тогда, начиная с этого номера, будет выполняться неравенство . Таким образом доказано, что последовательность является бесконечно малой. Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

2.3. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

О п р е д е л е н и е 1 Число называется пределом число- вой последовательности при , если для любого числа существует номер , начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству

. (3)

Символически это записывается так , или при .

Если последовательность имеет предел, то её называют сходящейся; ели же предела не существует, то её называют расходящейся.

Замечание 1 В соответствии с этим определением, всякая бесконечно малая последовательность имеет предел и этот предел равен нулю.

Замечание 2 Бесконечно большие последовательности иногда называют последовательностями, сходящимися к бесконечности и записывают .

Замечание 3. Если , то последовательность является бесконечно малой. Следовательно, любой элемент сходящейся последовательность можно представить в виде

, (4)

где - элемент бесконечно малой последовательности.

Замечание 4. Неравенство (3) равносильно неравенствам или . Последнее неравен -ство означает, что элементы находятся в - окрестности точки . В соответствии с этим получаем ещё одно опреде -ление сходящейся последовательности:

О п р е д е л е н и е 2. Последовательность называется сходящейся, если существует число такое, что в любой - окрестности этого числа находятся все элементы последова -тельности , начиная с некоторого номера.

Рассмотрим примеры сходящихся последовательностей.

1. Последовательность сходится и предел этой последовательности равен 1. В самом деле, разность и для доказательства сходимости достаточно убедиться, что последовательность является бесконечно малой. Для произ -вольного можем взять любой номер . Тогда . Следовательно, для всех чисел , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено , т.е. последова- тельность в самом деле бесконечно малая.
2. Последовательность сходится и имеет пределом число . В самом деле

. Из этих неравенств получается . Так как при , , то для произвольно взятого , выбрав номер из условия , получим при .

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2. Сходящаяся последовательность ограничена.
3. Алгебраическая сумма сходящихся последовательностей является сходящейся последовательностью, причём, если , то .
4. Произведение сходящихся последовательностей является сходящейся последовательностью, причём, если , то .

5. Частное двух сходящихся последовательностей и

, при условии, что предел не равен нулю,

является сходящейся последовательностью, предел

которой равен частному пределов последовательностей

и

6. Из сходимости последовательности следует

сходимость последовательностей

для любых чисел и .

7. Если все элементы некоторой сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел этой последовательности - удовлетворяет такому же неравенству, т.е. .

8. Если элементы сходящихся последовательностей

и , начиная с некоторого номера, удовлетво-

ряют неравенству , то их пределы удовлетворя-

ют тому же неравенству, т.е. .

9. Если все элементы сходящейся последовательности находятся в отрезке , то её предел также находится в этом отрезке.

10. Пусть и - сходящиеся последовательности, причём . Пусть, кроме этого, начи- ная с некоторого номера, элементы последовательнос- ти удовлетворяют неравенству: . Тогда последовательность также сходится и имеет предел, равный .

Замечание В соответствии с теоремой 1 из 1.3, любая

последовательность вида , является бесконечно малой, т.е. . Поэтому, учитывая свойства 3 – 7 сходящихся последовательностей, можем легко вычислять следующие пределы:

Пример 1. Найти предел . Разделим чис- тель и знаменатель дроби на . В результате получим

В дальнейшем, при вычислении пределов такого вида, ни к чему повторять такую последовательность операций. Легко проверить и следует запомнить следующее правило:

ПРАВИЛО: Если в дроби старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя, то предел равен нулю; если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя, то предел равен бесконечности; если старшие степени числителя и знаменателя совпадают, то предел равен отношению коэффициентов перед старшими степенями.

Рассмотрим ещё один пример:

Пример 2. Вычислить предел

.

Под знаком предела находится неопределённое выражение вида . Для вычисления такого предела желательно сначала получить дробь и затем использовать правило. Для этого умножим и разделим это выражение на сумму корней, чтобы получить в числителе разность квадратов. Получим:

2.4. Монотонные последовательности.

О п р е д е л е н и е Последовательность называется убы- вающей, если для всех выполняется неравенство ; последовательность называется невозраста -ющей, если для всех выполняется неравенство ; последовательность называется возрастаю -щей, если для всех выполняется неравенство ; последовательность называется неубываю -щей, если для всех выполняется неравенство . Во всех этих случаях последовательность называется монотонной.

Например, 1. Последовательность является невозрастающей. Она ограничена сверху своим первым элементом 1, а снизу числом 0.

2. Последовательность является неубывающей. Она ограничена снизу числом 1, а сверху неограниченна.

3. Последовательность является возрастающей и ограниченной с двух сторон - снизу числом 0, сверху - числом 1.

Признак сходимости монотонной последовательности Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится, или, иначе, этот признак можно сформулировать так: если монотонная последовательность ограничена с обоих сторон, то она сходится.

Замечание: условие ограниченности монотонной последова -тельности является необходимым и достаточным условием сходимости.

Следствием этого признака является так называемая

ТЕОРЕМА (О вложенных отрезках) Пусть дана бесконечная система отрезков и пусть длины этих отрезков: стремятся к нулю при . Тогда существует, и притом единственная, точка , принадлежащая всем отрезкам этой системы.

Доказательство. Прежде всего следует заметить, что точка , общая для всех отрезков, может быть только одна. В самом деле, если бы нашлась ещё одна точка , принадлежащая всем отрезкам, то и весь отрезок принадлежал бы всем отрезкам . Тогда для всех выполнялось бы неравенство . Но это невозможно, так как при . Докажем теперь существование точки . Так как последовательность отрезков является стягивающейся, то последовательность левых концов является неубывающей, а последова –тельность правых концов - невозрастающей. Поскольку обе эти последовательности ограничены (все элементы этих

последовательностей содержатся в отрезке ), то по признаку сходимости они обе сходятся. Но из того, что последовательность является бесконечно малой, следует, что обе последовательности имеют тот же предел, который мы можем обозначить , причём для всех выполняется неравенство , т.е. точка - общая для всех отрезков.

Ещё одним следствием признака сходимости монотонных последовательностей является доказательство существования предела последовательности , которая ограничена снизу числом 2, а сверху - числом 3. Предел этой последовательности считаем, по определению равным , т.е.

.