Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
2.1 Числовые последовательности и операции с ними.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если каждому числу натурального ряда чисел: 1, 2, …., , …, по определённому закону, ста - вится в соответствие некоторое действительное число , то множество занумерованных действительных чисел
(1)
называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Число называется общим членом последовательности, - порядковым номером последовательности. Зная порядко- вый номер и общий член последовательности, можем указать любой член последовательности. Сокращённо последователь -ность (1) обозначается символом . Например символом
обозначается последовательность: и таким же образом, по общему члену последовательности можно определить любой член последовательности.
Введём понятие арифметических операций над числовыми последовательностями. Пусть даны произвольные последова-тельности и . Суммой этих последовательностей называется последовательность , разностью - после- довательность , произведением - последовательность и частным - последовательность . (При определении операции необходимо требовать, чтобы все элементы последовательности были отличны от нуля.
ОРПЕДЕЛЕНИЕ 2. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу) если существует такое действи- тельное число (число ), что каждый элемент после -довательности удовлетворяет неравенству
. (1)
При этом число (число ) называется верхней (нижней) гранью последовательности , а условия (1) называются условиями ограниченности последовательности сверху (снизу).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. если существует число , такое что для всех .
Например, последовательность ограничена снизу, но неограниченна сверху;
последовательность ограничена сверху числом 1, а снизу числом 0, т.е. просто ограничена;
последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу.
2.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
О п р е д е л е н и е 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа существует номер , начиная с которого (т.е. для всех ) выполняется неравенство . (2)
Например, последовательность являет-ся бесконечно большой, а неограниченная последовательность не является бесконечно большой, так как для сколь угодно больших номеров существуют элементы равные 1 и невозможно выполнение неравенства (2).
О п р е д е л е н и е «. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует номер , начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству .
Например, последовательность является бесконечно малой. В самом деле, для произвольного существует номер , начиная с которого (для всех ) выполняется неравенство: .
Основные свойства бесконечно малых последователь- ностей.
1 Сумма или разность бесконечно малых последова- тельностей является бесконечно малой последова -тельностью. (более того, как следствие, алгебраическая сумма (т.е. сумма или разность) любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью).
2 Бесконечно малая последовательность - ограничена.
3 Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую - бесконечно малая последователь- ность. (в частности, при умножении бесконечно малой последовательности на любое число получим бесконеч- но малую последовательность).
4 Произведение двух бесконечно малых последователь- ностей - бесконечно малая последовательность (как следствие, произведение любого конечного числа бес- конечно малых последовательностей является бесконеч- но малой последовательностью).
5 Если все элементы бесконечно малой последователь –ности равны одному и тому же числу , то
Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
ТЕОРЕМА 1 Если - бесконечно большая последова- тельность то является бесконечно малой, и наоборот, если - бесконечно малая последовательность, то последовательность является бесконечно большой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Следует отметить, что у бесконечно большой последовательности только конечное число элементов может быть равно нулю Это следует из определения бесконечно большой последовательности, так как существует номер , начиная с которого для всех элементов выполняется неравенство . Это означает, что для всех элементы последовательности не равны нулю и поэтому последовательность имеет смысл, если её элементы начинать рассматривать начиная с номера . Докажем, что последовательность бесконечно малая. Возьмём произвольное число . Для числа можем указать номер , начиная с которого ве элементы последовательности удовлетворяют неравенству . Тогда, начиная с этого номера, будет выполняться неравенство . Таким образом доказано, что последовательность является бесконечно малой. Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.
2.3. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
О п р е д е л е н и е 1 Число называется пределом число- вой последовательности при , если для любого числа существует номер , начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству
. (3)
Символически это записывается так , или при .
Если последовательность имеет предел, то её называют сходящейся; ели же предела не существует, то её называют расходящейся.
Замечание 1 В соответствии с этим определением, всякая бесконечно малая последовательность имеет предел и этот предел равен нулю.
Замечание 2 Бесконечно большие последовательности иногда называют последовательностями, сходящимися к бесконечности и записывают .
Замечание 3. Если , то последовательность является бесконечно малой. Следовательно, любой элемент сходящейся последовательность можно представить в виде
, (4)
где - элемент бесконечно малой последовательности.
Замечание 4. Неравенство (3) равносильно неравенствам или . Последнее неравен -ство означает, что элементы находятся в - окрестности точки . В соответствии с этим получаем ещё одно опреде -ление сходящейся последовательности:
О п р е д е л е н и е 2. Последовательность называется сходящейся, если существует число такое, что в любой - окрестности этого числа находятся все элементы последова -тельности , начиная с некоторого номера.
Рассмотрим примеры сходящихся последовательностей.
. Из этих неравенств получается . Так как при , , то для произвольно взятого , выбрав номер из условия , получим при .
Основные свойства сходящихся последовательностей:
5. Частное двух сходящихся последовательностей и
, при условии, что предел не равен нулю,
является сходящейся последовательностью, предел
которой равен частному пределов последовательностей
и
6. Из сходимости последовательности следует
сходимость последовательностей
для любых чисел и .
7. Если все элементы некоторой сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел этой последовательности - удовлетворяет такому же неравенству, т.е. .
8. Если элементы сходящихся последовательностей
и , начиная с некоторого номера, удовлетво-
ряют неравенству , то их пределы удовлетворя-
ют тому же неравенству, т.е. .
9. Если все элементы сходящейся последовательности находятся в отрезке , то её предел также находится в этом отрезке.
10. Пусть и - сходящиеся последовательности, причём . Пусть, кроме этого, начи- ная с некоторого номера, элементы последовательнос- ти удовлетворяют неравенству: . Тогда последовательность также сходится и имеет предел, равный .
Замечание В соответствии с теоремой 1 из 1.3, любая
последовательность вида , является бесконечно малой, т.е. . Поэтому, учитывая свойства 3 – 7 сходящихся последовательностей, можем легко вычислять следующие пределы:
Пример 1. Найти предел . Разделим чис- тель и знаменатель дроби на . В результате получим
В дальнейшем, при вычислении пределов такого вида, ни к чему повторять такую последовательность операций. Легко проверить и следует запомнить следующее правило:
ПРАВИЛО: Если в дроби старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя, то предел равен нулю; если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя, то предел равен бесконечности; если старшие степени числителя и знаменателя совпадают, то предел равен отношению коэффициентов перед старшими степенями.
Рассмотрим ещё один пример:
Пример 2. Вычислить предел
.
Под знаком предела находится неопределённое выражение вида . Для вычисления такого предела желательно сначала получить дробь и затем использовать правило. Для этого умножим и разделим это выражение на сумму корней, чтобы получить в числителе разность квадратов. Получим:
2.4. Монотонные последовательности.
О п р е д е л е н и е Последовательность называется убы- вающей, если для всех выполняется неравенство ; последовательность называется невозраста -ющей, если для всех выполняется неравенство ; последовательность называется возрастаю -щей, если для всех выполняется неравенство ; последовательность называется неубываю -щей, если для всех выполняется неравенство . Во всех этих случаях последовательность называется монотонной.
Например, 1. Последовательность является невозрастающей. Она ограничена сверху своим первым элементом 1, а снизу числом 0.
2. Последовательность является неубывающей. Она ограничена снизу числом 1, а сверху неограниченна.
3. Последовательность является возрастающей и ограниченной с двух сторон - снизу числом 0, сверху - числом 1.
Признак сходимости монотонной последовательности Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится, или, иначе, этот признак можно сформулировать так: если монотонная последовательность ограничена с обоих сторон, то она сходится.
Замечание: условие ограниченности монотонной последова -тельности является необходимым и достаточным условием сходимости.
Следствием этого признака является так называемая
ТЕОРЕМА (О вложенных отрезках) Пусть дана бесконечная система отрезков и пусть длины этих отрезков: стремятся к нулю при . Тогда существует, и притом единственная, точка , принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Доказательство. Прежде всего следует заметить, что точка , общая для всех отрезков, может быть только одна. В самом деле, если бы нашлась ещё одна точка , принадлежащая всем отрезкам, то и весь отрезок принадлежал бы всем отрезкам . Тогда для всех выполнялось бы неравенство . Но это невозможно, так как при . Докажем теперь существование точки . Так как последовательность отрезков является стягивающейся, то последовательность левых концов является неубывающей, а последова –тельность правых концов - невозрастающей. Поскольку обе эти последовательности ограничены (все элементы этих
последовательностей содержатся в отрезке ), то по признаку сходимости они обе сходятся. Но из того, что последовательность является бесконечно малой, следует, что обе последовательности имеют тот же предел, который мы можем обозначить , причём для всех выполняется неравенство , т.е. точка - общая для всех отрезков.
Ещё одним следствием признака сходимости монотонных последовательностей является доказательство существования предела последовательности , которая ограничена снизу числом 2, а сверху - числом 3. Предел этой последовательности считаем, по определению равным , т.е.
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 350 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!