![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
О п р е д е л е н и е 1 Функция называется беско -нечно малой, в точке
, если
Исходя из этого определения, для того, чтобы для функци выполнялось равенство
необходимо и достаточно, чтобы функция
была бесконечно малой при
.
Отсюда получаем специальное представление для функции, имеющей в точке предел, равный
:
, где
При этом говорят, что в окрестности точки функция
отличается от
на бесконечно малую функцию.
Замечание Алгебраическая сумма и произведение конеч -ного числа бесконечно малых функций, а также произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию являют-
ся бесконечно малыми функциями при
.
О п р е д е л е н и е 2. Функция является беско -нечно большой функцией при
, если для любого
существует
, такое что для всех
, удо -влетворяющих неравенству
, выполняется нера – венство
. В этом случае пишут
и говорят, что функция
стремится к бесконечности при
., или что она имеет бесконечный предел в точке
.
Так же как и для последовательностей, для функций имеет место
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если при
- бесконечно малая функция, то функция
является бесконечно большой и наоборот, если
- бесконечно большая функция, то функция
- является бесконечно малой.
Например, при функции
будут бесконечно малыми функциями.
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть при функции
и
являются бесконечно малыми. Тогда выполняются следующие правила сравнения:
Например,
1) Функции и
являются эквивалентными бес –
конечно малыми функциями при , так как
.
2) Функции и
при
являются беско -нечно малыми функциями одного порядка, так как
.
3) Функция бесконечно малая более высокого порядка, чем
при
, так как
.
Важное значение при вычислении пределов имеет так называемая
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:
Если при функция
является бесконечно малой, т.е.
, то можно проверить что следующие функции являются эквивалентными:
1. ~
; 2.
~
; 3.
~
; 4.
~
;
5. ~
; 6.
~
; 7.
~
;
8. ~
; 9.
~
:
10. ~
; 11.
~
.
Чтобы можно было вычислять пределы, используя таблицу эквивалентных бесконечно малых функций важно знать следующий факт.
ТЕОРЕМА. Если при эквивалентны следующие
бесконечно малые функции: ~
и
~
, то выполнено равенство
.
Например, вычислить предел
Если мы воспользуемся теперь таблицей, получим
.
Таким образом можно вычислять довольно сложные пределы.
Сравнение бесконечно больших функций.
Если при функции
и
являются бесконечно большими, т.е.
, то также можно привести правила сравнения этих функций:
1) Если , то говорят, что функция
имеет больший порядок роста, чем
.
2) Если , то говорят, что функции
и
имеют одинаковый порядок роста.
3) Если , то говорят, что
и
эквивалентные бесконечно большие функции и записывают
~
.
При вычислении пределов при , важно знать, что любой многочлен степени
эквивалентен своей старшей степени, т.е.
~
, и при вычислении пределов дробно – рациональных функций, на значение предела влияет только отношение старших степеней. Поэтому, если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен нулю, если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен
, если степени числителя и знаменателя совпадают, то предел равен отношению коэффициентов перед старшими степенями
.
Например, .
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 452 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!