 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
|
|
О п р е д е л е н и е 1 Функция 
называется беско -нечно малой, в точке 
, если 
Исходя из этого определения, для того, чтобы для функци выполнялось равенство 
необходимо и достаточно, чтобы функция 
была бесконечно малой при 
.
Отсюда получаем специальное представление для функции, имеющей в точке предел, равный 
:
, где 
При этом говорят, что в окрестности точки функция 
отличается от на бесконечно малую функцию.
Замечание Алгебраическая сумма и произведение конеч -ного числа бесконечно малых функций, а также произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию являют-
ся бесконечно малыми функциями при 
.
О п р е д е л е н и е 2. Функция является беско -нечно большой функцией при , если для любого 
существует 
, такое что для всех 
, удо -влетворяющих неравенству 
, выполняется нера – венство 
. В этом случае пишут 
и говорят, что функция стремится к бесконечности при ., или что она имеет бесконечный предел в точке .
Так же как и для последовательностей, для функций имеет место
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если при 
- бесконечно малая функция, то функция 
является бесконечно большой и наоборот, если - бесконечно большая функция, то функция 
- является бесконечно малой.
Например, при 
функции 
будут бесконечно малыми функциями.
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть при функции и 
являются бесконечно малыми. Тогда выполняются следующие правила сравнения:
- если
, то - бесконечно малая более высокого порядка, чем и записываю 
; - если
, то говорят, что и бесконечно малые функции одного порядка; - если
, то говорят, что и эквивалентные бесконечно малые функции и обозначают ~ .
Например,
1) Функции 
и 
являются эквивалентными бес –
конечно малыми функциями при 
, так как 
.
2) Функции 
и 
при являются беско -нечно малыми функциями одного порядка, так как
.
3) Функция 
бесконечно малая более высокого порядка, чем при , так как
.
Важное значение при вычислении пределов имеет так называемая
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:
Если при функция 
является бесконечно малой, т.е. 
, то можно проверить что следующие функции являются эквивалентными:
1. 
~ 
; 2. 
~ ; 3. 
~ ; 4. 
~ ;
5. 
~ 
; 6. 
~ 
; 7. 
~ ;
8. 
~ 
; 9. 
~ :
10. 
~ 
; 11. 
~ 
.
Чтобы можно было вычислять пределы, используя таблицу эквивалентных бесконечно малых функций важно знать следующий факт.
ТЕОРЕМА. Если при эквивалентны следующие
бесконечно малые функции: 
~ и
~ , то выполнено равенство
.
Например, вычислить предел
Если мы воспользуемся теперь таблицей, получим
.
Таким образом можно вычислять довольно сложные пределы.
Сравнение бесконечно больших функций.
Если при функции и 
являются бесконечно большими, т.е. 
, то также можно привести правила сравнения этих функций:
1) Если 
, то говорят, что функция имеет больший порядок роста, чем .
2) Если 
, то говорят, что функции и имеют одинаковый порядок роста.
3) Если 
, то говорят, что и эквивалентные бесконечно большие функции и записывают ~ .
При вычислении пределов при , важно знать, что любой многочлен степени 
эквивалентен своей старшей степени, т.е. 
~ 
, и при вычислении пределов дробно – рациональных функций, на значение предела влияет только отношение старших степеней. Поэтому, если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен нулю, если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен 
, если степени числителя и знаменателя совпадают, то предел равен отношению коэффициентов перед старшими степенями .
Например, 
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 454 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
