Кратные тнтегралы

§ 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Пусть - замкнутая, ограниченная область в плоскости , а - функция, определённая и ограниченная в точках области .

Разобьём область на частей с площадями , не имеющих общих внутренних точек. В каждой частичной области возьмём произвольную точку и составим сумму

, (1) которую назовём интегральной суммой для функции в области .

О

Диаметром области - - называемся наибольшее расстояние между граничными точками области . Пусть .

Определении 1. Если интегральная сумма (1) при имеет конечный предел , то этот предел называется двой -ным интегралом от функции по области и обозначается:

. (2)

В этом случае функция называется интегри- руемой в области , называется областью интегриро-вания, а - элементом площади.

Если функция непрерывна (или кусочно - непре- рывна) в области , то она интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла: Двойной интеграл численно равен объёму криволинейного цилиндра, ограниченного сверху графиком неотрицательной функции ; снизу - областью , лежащей в плоскости , а с боковых сторон - цилиндрической поверхностью, обра -зующая которой параллельна оси , а направляющая - совпадает с границей области .

О

(3)

В частности, если , двойной интеграл равен площади области .

(4)

СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА,

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соот -ветствующим свойствам определённого интеграла, а именно:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак инте -грала, т.е., если - интегрируема в области , а - произвольное число, то

(5)

2. Двойной интеграл от алгебраической суммы двух (или более) интегрируемых функций равен алгебраической сумме этих функций, т.е

; (6)

3. Если область является объединением двух областей , не имеющих общих внутренних точек, то для интегрируемой в области функции выполняется свойство:

; (7)

4. Теорема о среднем. Если функция инте -грируема в области , то в этой области найдётся точка , такая, что для всех точек области выпол -няется следующее равенство:

, (8)

где - площадь области .

§ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В

ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ (ПЕРЕХОД ОТ

ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ)

Определение. Область называется правильной в на -правлении оси , если любая вертикальная (гори- зонтальная) прямая, пересекающая область , пересекает её границу не более чем в двух точках.

Пусть область правильная в направлении оси . Тогда выполняется следующая терема:

ТЕОРЕМА 1 Пусть функция определена в области , где

непрерывные функции на промежутке . Пусть в области существует двойной интеграл

; (1)

и пусть для каждого существует определённый интеграл вида . Тогда существует опре-

делённый интеграл и спра -ведливо равенство:

. (2)

-

-----

О

Аналогичная формула имеет место и в случае, если область является правильной относительно другой оси:

-- ---

O x

(3)

Формулы (3) и (4) определяют переход от двойного интеграла к повторному (т.е. интеграл от интеграла)

Порядок интегрирования, обычно, выбирают в соответствии с ориентацией области (область должна быть правильной в направлении интегрирования, чтобы можно было обойтись одним интегралом (если это возможно), и не пришлось бы дробить область на несколько правильных частей). Если же область интегрирования является правильной в обоих направ- лениях, то порядок интегрирования выбираем таким образом, чтобы легче вычислялся внутренний интеграл.

ПРИМЕРЫ.

1. Изменить порядок интегрирования:

Область интегрирования определяется неравенствами:

Построим эту область.

, тогда это верхняя половина окружности

1

-1 0 1

Если мы теперь изменим порядок интегрирования, то в данной области , а меняется от левой половины окружности до правой половины окружности и интеграл преобразуется к виду:

2. Изменить порядок интегрирования:

Для первого интеграла ; для второго интеграла . Таким образом . Построим эту область.

1,5

0 1 3

Переориентируем её в направлении оси . Теперь в этой области: и исходная сумма двух интегралов перейдёт в один интеграл:

Заметим, что при таком порядке интегрирования интеграл будет вычисляться проще.

3. Вычислить двойной интеграл:

, где

Построим область

- _

3

0 1

Область является неправильной по обоим осям. Поэтому при вычислении интеграла область придётся разбивать на две части и, соответственно, интеграл будет равен сумме двух интегралов:

4. Вычислить двойной интеграл:

,где

Построим область

0

Данная область является правильной в направлении обеих осей координат, поэтому порядок интегрирования можем выбирать произвольным образом. В этом случае следует обратить внимание на подынтегральную функцию .

Если внутренний интеграл поставить по переменной , то при вычислении интеграла придётся дважды применять формулу интегрирования по частям, что, естественно, не целесообразно (получаются громоздкие вычисления). Поэто- му следует выбрать другой порядок интегрирования:

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Построим область .

2

-1 0 8

-6

Найдём точки пересечения графиков:

Корни этого уравнения

Область ориентирована вдоль оси , поэтому следует выбрать следующий порядок интегрирования:

§ 3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ.

ПЕРЕХОД К ПОЛЯРНЫМ КООРДИНАТАМ.

Пусть непрерывна в некоторой замкнутой ограни- ченной области , Тогда для функции существует двойной интеграл . (1)

Пусть с помощью формул . (2)

мы переходим к новыми переменным, которые определяются из формул (2) единственным образом с помощью формул:

(3)

С помощью формул (3) каждой точке области ставится в соответствие единственная точка области . Формулы (2) называют формулами преобразования коор- динат, а формулы (3) - формулами обратного преобразова -ния.

При сделанных предположениях, при условии, что функции (2) имеют в области непрерывные частные производные, если определитель

(4)

для интеграла (1) имеет место формула

, (5)

Этот определитель называется функциональным определи -телем или якобианом. Чаще всего приходится формулу (5) применять при переходе к полярным координатам, в случае, ели область интегрирования определяется окружностями.

Полярные координаты вводятся равенствами:

. П ри данном преобразовании координат якобиан

В этом случае получаем формулу перехода к полярным ко- ординатам:

(6) ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл , где область представляет собой кольцо, ограниченное окружностями:

0

При вычислении данного интеграла следует перейти к полярным координатам

§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Как уже было сказано выше, с помощью двойного инте -грала можно вычислить площадь области или найти объём криволинейного цилиндра. Кроме этого двойной интеграл име- ет и другие приложения:

1. Вычисление массы пластинки: , где - плотность масс на поверхности пластинки.

ПРИМЕР. Найти массу круга радиуса 2 с центром в начале

координат, плотность масс которого определяется по формуле: .

По формуле, применяя переход к полярным координатам, получим:

2. Вычисление координат центра масс пластинки. Если

- плотность масс пластинки, непрерывная в области функция, то координаты центра масс этой пластинки определяются формулами:

Здесь - это масса области .

В частности, если пластинка однородная, т.е. ,

то координаты центра масс определяются по формулам:

где - площадь области .

ПРИМЕР. Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной линиями:

0 1 2

Сначала найдём площадь области :

Тогда

в первом интеграле сделаем замену:

Таким образом точка

2. Вычисление моментов инерции пластинки. Известно, что момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат её рассто -яния от оси. Пусть область плоскости занята пластинкой, имеющей непрерывную плотность . Тогда моменты инерции этой пластинки относительно осей координат можно вычислять по формулам:

Момент инерции относительно начала координат вычисля – ется по формуле

.

ПРИМЕР. Найти момент инерции относительно оси пластинки, ограниченной линиями: если она имеет постоянную плотность

По соответствующей формуле,

-2 0 2

§ 5. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла, но вводится для функции трёх переменных и вместо плоской области областью интегрирования является пространст -венное тело .

Пусть в некоторой пространственной замкнутой ограни -ченной области определена ограниченная функция . Область разбиваем на произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек с объёмами . В каждой частичной области возьмём произвольную точку и составим интегральную сумму . Пусть - максимальный диаметр частичных областей.

Определение. Если существует конечный предел этих интегральных сумм, то он называется тройным интегралом от функции и обозначается следующим образом:

. (1)

Тройные интегралы являются обобщением двойных инте -гралом на случай трёхмерного пространства и, соответственно, обладают аналогичными свойствами.

Если предположить, что в области , то с помощью тройного интеграла можно вычислить объём области:

. (2)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Пусть область представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью, образующая которой парал -лельна оси , которое снизу и сверху ограничено поверх- ностями и . Пусть - проекция этого тела на плоскость . Пусть каждая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для функции , непрерывной в области , вы- полняется формула:

(3)

Эта формула позволяет свести вычисление тройного интегра- ла к вычислению определённого и двойного интегралов. Если вспомнить формулу перехода от двойного интеграла к повтор- ному, то получим формулу:

Таким образом, тройной интеграл можно вычислить после -довательно вычисляя три определённых интеграла.

ЗАМЕЧАНИЕ. При проектирование области на другую координатную плоскость мы получим другой порядок интегрирования.

ПРИМЕР. Вычислить , если область ограничена поверхностями:

Построим область в плоскости .

О 1

Этого рисунка достаточно для того, чтобы расставить пре -делы интегрирования, так как в этой области меняется от нуля до 0 до .

Тогда

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕНРАЛЕ.

Если ограниченная замкнутая область пространства с помощью непрерывно дифференцируемых функций

взаимно однозначно переводится в область пространства и якобиан

то можно применять формулу замены переменных в тройном интеграле:

Чаще всего эта формула применяется в случае перехода от декартовых координат к цилиндрическим коорди –натам (т.е. вводятся поляр -ные координаты на плоскости, а остаётся без изменения). В этом случае якобиан перехода такой же, как в случае пе -рехода к полярным координатам для двойного интеграла, т.е. , и формула перехода к цилиндрическим координатам приобретает вид:

Переход к цилиндрическим координатам, обычно, приме –няется в случае, если область интегрирования представляет собой область, ограниченную следующими поверхностями:

Сфера, круговой цилиндр, параболоид вращения, круговой цилиндр и т.п.

ПРИМЕР. Вычислить тройной интеграл: , где общая часть параболоида и шара

2

2

Линия пересечения этих поверхностей представляет собой окружность, радиус которой определим, решив систему уравнений

При радиус окружности равен 2. Т.е. в проекции на плоскость мы имеем окружность радиуса 2, задаваемую уравнением . При переходе к цилиндрическим координата, так как , имеем , или . Таким образом, в нашей области меняется от 0 до 2, меняется от 0 до (полный круг), меняется от поверх -ности параболоида до поверхности шара . Тогда, делая замену переменных в интеграле, получим:

ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Приложения тройных интегралов аналогичны соответствую –щим приложениям двойных интегралов.

1 Вычисление объёма тела:

ПРИМЕР. Найти объём тела, ограниченного следующими

поверхностями:

_ -

2

Проекцией этой области на плоскость является окружность

2

1 -

0

Поэтому целесообразно перейти к цилиндрическим коорди -натам. Уравнение этой окружности в полярных координатах имеет вид: , или . Конус в цилиндрических координатах имеет уравнение

. Тогда область

Объём находим по формуле

Замена

2. Вычисление массы тела.

. где - непрерывная функция, определяющая плот -ность тела в каждой точке области.

ПРИМЕР. Найти массу пирамиды, ограниченной плоскос- тями: если плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки.

Решение.

Z

Y

3

2

-

0 3 y

0 2 x

x

Тогда, по формуле, масса равна

3. Вычисление моментов инерции тела с плотностью производится по формулам:

Момент инерции относительно начала координат находится по формуле:

4. Вычисление координат центра масс.

Координаты центра масс можно определить по следующим формулам:

В частности, если тело однородное, то координаты центра масс определяются по формулам:

ПРИМЕР. Найти центр масс однородного тела, ограни -ченного поверхностями:

Решение.

0 4

Очевидно, что центр масс этого тела находится на оси , поэтому . Остаётся найти только . Снача- ла найдём объём этого тела. Область ориентирована вдоль оси , поэтому рассмотрим её проекцию на плоскость

0 2

Введём цилиндрические координаты следующим образом:

Тогда в области переменные меняются следующим образом:

Объём находим по формуле:

Тогда

Таким образом, центр масс этого тела имеет координаты (0,2,0).

§ 6 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1- ГО РОДА

Можно обобщить понятие определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является не отрезок числовой прямой, а некоторый участок кривой, лежащей в плоскости.

Рассмотрим на плоскости некоторую кривую , за -данная параметрическими уравнениями: Эта кривая называется гладкой на промежутке , если для всех точек этого промежутка функции непрерывны и не обращаются в нуль одновременно. Непре -рывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков, называется кусочно – непрерывной.

Пусть функция определена и ограничена на множестве точек, лежащих на гладкой или кусочно –гладкой кривой . Разобьём эту кривую произвольным образом на частей точками . На каждой из частичных дуг возьмём фиксированную точку