Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
§ 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Пусть - замкнутая, ограниченная область в плоскости , а - функция, определённая и ограниченная в точках области .
Разобьём область на частей с площадями , не имеющих общих внутренних точек. В каждой частичной области возьмём произвольную точку и составим сумму
, (1) которую назовём интегральной суммой для функции в области .
О
Диаметром области - - называемся наибольшее расстояние между граничными точками области . Пусть .
Определении 1. Если интегральная сумма (1) при имеет конечный предел , то этот предел называется двой -ным интегралом от функции по области и обозначается:
. (2)
В этом случае функция называется интегри- руемой в области , называется областью интегриро-вания, а - элементом площади.
Если функция непрерывна (или кусочно - непре- рывна) в области , то она интегрируема в этой области.
Геометрический смысл двойного интеграла: Двойной интеграл численно равен объёму криволинейного цилиндра, ограниченного сверху графиком неотрицательной функции ; снизу - областью , лежащей в плоскости , а с боковых сторон - цилиндрической поверхностью, обра -зующая которой параллельна оси , а направляющая - совпадает с границей области .
О
(3)
В частности, если , двойной интеграл равен площади области .
(4)
СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА,
Основные свойства двойного интеграла аналогичны соот -ветствующим свойствам определённого интеграла, а именно:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак инте -грала, т.е., если - интегрируема в области , а - произвольное число, то
(5)
2. Двойной интеграл от алгебраической суммы двух (или более) интегрируемых функций равен алгебраической сумме этих функций, т.е
; (6)
3. Если область является объединением двух областей , не имеющих общих внутренних точек, то для интегрируемой в области функции выполняется свойство:
; (7)
4. Теорема о среднем. Если функция инте -грируема в области , то в этой области найдётся точка , такая, что для всех точек области выпол -няется следующее равенство:
, (8)
где - площадь области .
§ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В
ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ (ПЕРЕХОД ОТ
ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ)
Определение. Область называется правильной в на -правлении оси , если любая вертикальная (гори- зонтальная) прямая, пересекающая область , пересекает её границу не более чем в двух точках.
Пусть область правильная в направлении оси . Тогда выполняется следующая терема:
ТЕОРЕМА 1 Пусть функция определена в области , где
непрерывные функции на промежутке . Пусть в области существует двойной интеграл
; (1)
и пусть для каждого существует определённый интеграл вида . Тогда существует опре-
делённый интеграл и спра -ведливо равенство:
. (2)
-
-----
О
Аналогичная формула имеет место и в случае, если область является правильной относительно другой оси:
-- ---
O x
(3)
Формулы (3) и (4) определяют переход от двойного интеграла к повторному (т.е. интеграл от интеграла)
Порядок интегрирования, обычно, выбирают в соответствии с ориентацией области (область должна быть правильной в направлении интегрирования, чтобы можно было обойтись одним интегралом (если это возможно), и не пришлось бы дробить область на несколько правильных частей). Если же область интегрирования является правильной в обоих направ- лениях, то порядок интегрирования выбираем таким образом, чтобы легче вычислялся внутренний интеграл.
ПРИМЕРЫ.
1. Изменить порядок интегрирования:
Область интегрирования определяется неравенствами:
Построим эту область.
, тогда это верхняя половина окружности
1
-1 0 1
Если мы теперь изменим порядок интегрирования, то в данной области , а меняется от левой половины окружности до правой половины окружности и интеграл преобразуется к виду:
2. Изменить порядок интегрирования:
Для первого интеграла ; для второго интеграла . Таким образом . Построим эту область.
1,5
0 1 3
Переориентируем её в направлении оси . Теперь в этой области: и исходная сумма двух интегралов перейдёт в один интеграл:
Заметим, что при таком порядке интегрирования интеграл будет вычисляться проще.
3. Вычислить двойной интеграл:
, где
Построим область
- _
3
0 1
Область является неправильной по обоим осям. Поэтому при вычислении интеграла область придётся разбивать на две части и, соответственно, интеграл будет равен сумме двух интегралов:
4. Вычислить двойной интеграл:
,где
Построим область
0
Данная область является правильной в направлении обеих осей координат, поэтому порядок интегрирования можем выбирать произвольным образом. В этом случае следует обратить внимание на подынтегральную функцию .
Если внутренний интеграл поставить по переменной , то при вычислении интеграла придётся дважды применять формулу интегрирования по частям, что, естественно, не целесообразно (получаются громоздкие вычисления). Поэто- му следует выбрать другой порядок интегрирования:
5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Построим область .
2
-1 0 8
-6
Найдём точки пересечения графиков:
Корни этого уравнения
Область ориентирована вдоль оси , поэтому следует выбрать следующий порядок интегрирования:
§ 3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ.
ПЕРЕХОД К ПОЛЯРНЫМ КООРДИНАТАМ.
Пусть непрерывна в некоторой замкнутой ограни- ченной области , Тогда для функции существует двойной интеграл . (1)
Пусть с помощью формул . (2)
мы переходим к новыми переменным, которые определяются из формул (2) единственным образом с помощью формул:
(3)
С помощью формул (3) каждой точке области ставится в соответствие единственная точка области . Формулы (2) называют формулами преобразования коор- динат, а формулы (3) - формулами обратного преобразова -ния.
При сделанных предположениях, при условии, что функции (2) имеют в области непрерывные частные производные, если определитель
(4)
для интеграла (1) имеет место формула
, (5)
Этот определитель называется функциональным определи -телем или якобианом. Чаще всего приходится формулу (5) применять при переходе к полярным координатам, в случае, ели область интегрирования определяется окружностями.
Полярные координаты вводятся равенствами:
. П ри данном преобразовании координат якобиан
В этом случае получаем формулу перехода к полярным ко- ординатам:
(6) ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл , где область представляет собой кольцо, ограниченное окружностями:
0
При вычислении данного интеграла следует перейти к полярным координатам
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
Как уже было сказано выше, с помощью двойного инте -грала можно вычислить площадь области или найти объём криволинейного цилиндра. Кроме этого двойной интеграл име- ет и другие приложения:
1. Вычисление массы пластинки: , где - плотность масс на поверхности пластинки.
ПРИМЕР. Найти массу круга радиуса 2 с центром в начале
координат, плотность масс которого определяется по формуле: .
По формуле, применяя переход к полярным координатам, получим:
2. Вычисление координат центра масс пластинки. Если
- плотность масс пластинки, непрерывная в области функция, то координаты центра масс этой пластинки определяются формулами:
Здесь - это масса области .
В частности, если пластинка однородная, т.е. ,
то координаты центра масс определяются по формулам:
где - площадь области .
ПРИМЕР. Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной линиями:
0 1 2
Сначала найдём площадь области :
Тогда
в первом интеграле сделаем замену:
Таким образом точка
2. Вычисление моментов инерции пластинки. Известно, что момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат её рассто -яния от оси. Пусть область плоскости занята пластинкой, имеющей непрерывную плотность . Тогда моменты инерции этой пластинки относительно осей координат можно вычислять по формулам:
Момент инерции относительно начала координат вычисля – ется по формуле
.
ПРИМЕР. Найти момент инерции относительно оси пластинки, ограниченной линиями: если она имеет постоянную плотность
По соответствующей формуле,
-2 0 2
§ 5. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла, но вводится для функции трёх переменных и вместо плоской области областью интегрирования является пространст -венное тело .
Пусть в некоторой пространственной замкнутой ограни -ченной области определена ограниченная функция . Область разбиваем на произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек с объёмами . В каждой частичной области возьмём произвольную точку и составим интегральную сумму . Пусть - максимальный диаметр частичных областей.
Определение. Если существует конечный предел этих интегральных сумм, то он называется тройным интегралом от функции и обозначается следующим образом:
. (1)
Тройные интегралы являются обобщением двойных инте -гралом на случай трёхмерного пространства и, соответственно, обладают аналогичными свойствами.
Если предположить, что в области , то с помощью тройного интеграла можно вычислить объём области:
. (2)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть область представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью, образующая которой парал -лельна оси , которое снизу и сверху ограничено поверх- ностями и . Пусть - проекция этого тела на плоскость . Пусть каждая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для функции , непрерывной в области , вы- полняется формула:
(3)
Эта формула позволяет свести вычисление тройного интегра- ла к вычислению определённого и двойного интегралов. Если вспомнить формулу перехода от двойного интеграла к повтор- ному, то получим формулу:
Таким образом, тройной интеграл можно вычислить после -довательно вычисляя три определённых интеграла.
ЗАМЕЧАНИЕ. При проектирование области на другую координатную плоскость мы получим другой порядок интегрирования.
ПРИМЕР. Вычислить , если область ограничена поверхностями:
Построим область в плоскости .
О 1
Этого рисунка достаточно для того, чтобы расставить пре -делы интегрирования, так как в этой области меняется от нуля до 0 до .
Тогда
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕНРАЛЕ.
Если ограниченная замкнутая область пространства с помощью непрерывно дифференцируемых функций
взаимно однозначно переводится в область пространства и якобиан
то можно применять формулу замены переменных в тройном интеграле:
Чаще всего эта формула применяется в случае перехода от декартовых координат к цилиндрическим коорди –натам (т.е. вводятся поляр -ные координаты на плоскости, а остаётся без изменения). В этом случае якобиан перехода такой же, как в случае пе -рехода к полярным координатам для двойного интеграла, т.е. , и формула перехода к цилиндрическим координатам приобретает вид:
Переход к цилиндрическим координатам, обычно, приме –няется в случае, если область интегрирования представляет собой область, ограниченную следующими поверхностями:
Сфера, круговой цилиндр, параболоид вращения, круговой цилиндр и т.п.
ПРИМЕР. Вычислить тройной интеграл: , где общая часть параболоида и шара
2
2
Линия пересечения этих поверхностей представляет собой окружность, радиус которой определим, решив систему уравнений
При радиус окружности равен 2. Т.е. в проекции на плоскость мы имеем окружность радиуса 2, задаваемую уравнением . При переходе к цилиндрическим координата, так как , имеем , или . Таким образом, в нашей области меняется от 0 до 2, меняется от 0 до (полный круг), меняется от поверх -ности параболоида до поверхности шара . Тогда, делая замену переменных в интеграле, получим:
ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
Приложения тройных интегралов аналогичны соответствую –щим приложениям двойных интегралов.
1 Вычисление объёма тела:
ПРИМЕР. Найти объём тела, ограниченного следующими
поверхностями:
_ -
2
Проекцией этой области на плоскость является окружность
2
1 -
0
Поэтому целесообразно перейти к цилиндрическим коорди -натам. Уравнение этой окружности в полярных координатах имеет вид: , или . Конус в цилиндрических координатах имеет уравнение
. Тогда область
Объём находим по формуле
Замена
2. Вычисление массы тела.
. где - непрерывная функция, определяющая плот -ность тела в каждой точке области.
ПРИМЕР. Найти массу пирамиды, ограниченной плоскос- тями: если плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки.
Решение.
Z
Y
3
2
-
0 3 y
0 2 x
x
Тогда, по формуле, масса равна
3. Вычисление моментов инерции тела с плотностью производится по формулам:
Момент инерции относительно начала координат находится по формуле:
4. Вычисление координат центра масс.
Координаты центра масс можно определить по следующим формулам:
В частности, если тело однородное, то координаты центра масс определяются по формулам:
ПРИМЕР. Найти центр масс однородного тела, ограни -ченного поверхностями:
Решение.
0 4
Очевидно, что центр масс этого тела находится на оси , поэтому . Остаётся найти только . Снача- ла найдём объём этого тела. Область ориентирована вдоль оси , поэтому рассмотрим её проекцию на плоскость
0 2
Введём цилиндрические координаты следующим образом:
Тогда в области переменные меняются следующим образом:
Объём находим по формуле:
Тогда
Таким образом, центр масс этого тела имеет координаты (0,2,0).
§ 6 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1- ГО РОДА
Можно обобщить понятие определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является не отрезок числовой прямой, а некоторый участок кривой, лежащей в плоскости.
Рассмотрим на плоскости некоторую кривую , за -данная параметрическими уравнениями: Эта кривая называется гладкой на промежутке , если для всех точек этого промежутка функции непрерывны и не обращаются в нуль одновременно. Непре -рывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков, называется кусочно – непрерывной.
Пусть функция определена и ограничена на множестве точек, лежащих на гладкой или кусочно –гладкой кривой . Разобьём эту кривую произвольным образом на частей точками . На каждой из частичных дуг возьмём фиксированную точку
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 353 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!