I. Парная регрессия

1. Проанализировать зависимость потребительского спроса на товар y (табл. Б-1) от индекса реальных цен х (табл. Б-2) на период с 1959 по 1983 г. Оценить регрессию между y и х. Реальная цена вычисляется путем деления индекса номинальной цены на товар (например, бензина (табл. Б-2)) на общий индекс потребительских цен из той же таблицы и умножения результата на 100. Индексы втаблице Б-2 основаны на данных 1972 г., таким образом, индекс реальной цены показывает повышение цены товара относительно общей инфляции, начиная с 1972 г.

2. Оценить регрессии между характеристиками товара и временем (табл. Б-1), определенного как t = 1 для 1959 г., t = 2 для 1960 г. и т.д.

3. Как изменится результат оценивания регрессии во втором задании, если в качестве t использовать фактические даты (1959 – 1983 гг.), а не числа от 1 до 25?

4. Исследователь изучает зависимость между совокупным спросом на услуги (y) и совокупным располагаемым личным доходом (х) (обе величины измерены в миллиардах долларов в постоянных ценах, табл. Б-1), используя ежегодные данные временных рядов и линейное уравнение регрессии.

Исследователь получает уравнение, проводя регрессионный анализ с помощью обычного МНК. Предполагая, что обе величины y и х могут быть существенно занижены в системе национальных счетов из-за стремления людей уклониться от уплаты налогов, исследователь принимает два альтернативных метода уточнения заниженных оценок.

1) Исследователь добавляет к каждому году 90 млрд. долл. к показателю y и 200 млрд. долл. к показателю х.

2) Исследователь увеличивает значения как для х, так и для y на 10 % за каждый год.

Оцените влияние корректировок первого и второго методов на результаты оценивания регрессии.

5. В таблице Б-1 приведены ежегодные данные о потребительских расходах и располагаемых личных доходах на период с 1959 по 1983 г.

Выберите один товар – не продукты питания и не жилье, - обозначьте его как y и оцените регрессию между y и х, где х – располагаемый личный доход, используя данные за 25 лет.

Задания к теме «Парная регрессия»

Задание 1. Составить линейное уравнение регрессии. Вычислить параметры и рассчитать линейный коэффициент корреляции r и корреляционное отношение η. Сравнить величины r и η. Сформулировать выводы.

Задание 2. Составить следующие уравнения регрессии:

• Гиперболическое;
• Степенное;
• Логарифмическое;
• Параболическое;
• Тригонометрическое (число гармоник m = 1,2,3);
• Тригонометрический тренд (число гармоник m=1,2,3).

Рассчитать параметры, построить графики табличных данных и уравнений регрессии. Для всех видов парной регрессии рассчитать точность аппроксимации δ.

Задание 3. Определить значимость коэффициента корреляции для линейной зависимости двумя способами:

1) С помощью нулевой гипотезы H₀, проверить гипотезу для следующих значений функции распределения Ф(х) - 0,9; 0,95; 0,99.

2) Используя t – критерий Стьюдента, с 5 % - ым уровнем значимости.

3) Определить значимость корреляционного отношения нелинейных уравнений регрессии с помощью t-критерия Стьюдента. Сформулировать выводы.

Задание 4. Провести оценку значимости коэффициентов с помощью t – критерия Стьюдента следующих уравнений регрессии:

§ Линейного (кроме t – критерия Стьюдента, при оценке значимости коэффициентов использовать т.н. «грубое» правило);

• Гиперболического;
• Степенного;
• Логарифмического;
• Параболического;
• Тригонометрического (число гармоник m = 1,2,3).
• Тригонометрического тренда (число гармоник m=1,2,3).

Сделать выводы.

Задание 5. Оценить значимость всех уравнений регрессии с помощью F-критерия.

Задание 6. Для перечисленных выше зависимостей проверить критерий Дарбина – Уотсона (DW) для определения автокорреляции остатков двумя способами:

1) Используя коэффициент автокорреляции первого порядка r_eiei-1.

2) Используя критические границы DW – критерия для уровня значимости α = 0.05, числа наблюдений N и количества параметров m уравнения регрессии.

Проанализировать результаты и выбрать зависимости, у которых автокорреляция остатков отсутствует. Сделать выводы.

Задание 7. Для регрессионной модели с автокорреляцией остатков построить авторегрессионную модель. Построить графики табличных данных и авторегрессионной модели.

Задание 8. Провести анализ всех имеющихся данных и выбрать зависимость с наиболее высоким уровнем адекватности (спецификации) между y и х. Свой выбор обосновать.

Номер вариантов для 1 и 5 задач указывает преподаватель.

II. Задания к теме «Множественная регрессия»

Задание 1. Оценить множественную регрессию между расходами на выбранный товар у (таблица Б-1), располагаемым личным доходом х₁ (таблица Б-1) и индексом цен х₂ (таблица Б-2), который определяется также как и в задаче 1, индекс цен рассчитывают путем деления дефлятора цен для выбранного товара из таблицы Б-2 на дефлятор общих расходов и умножают на 100. Дайте интерпретацию результатов.

Задание 2. Для предлагаемых исходных данных выполнить все пункты задания.

Результирующий показатель у – расход на товар,

Факторы, воздействующие на y:

х₁ – личный доход;

х₂ – индекс цен (относительная цена на товар);

х₃ – время;

х₄ – налог (разность между личным доходом и располагаемым личным доходом).

1. Рассчитать коэффициенты корреляции , где , . Проверить попарную независимость факторов х₁, х_2, х_3, х₄ по нулевой гипотезе (Н₀ : ρ_ij = 0), для попарно независимых факторов нулевая гипотеза должна подтверждаться при P = 0,9, т.е. связь между x_i и x_j должна быть незначима. Рассчитать коэффициент корреляции совокупного воздействия R для попарно независимых факторов. Предпочтение отдается той паре факторов, для которой R больше.

2. Рассчитать коэффициент корреляции между результирующим показателем у и каждым из независимых факторов х_j. Проверить нулевую гипотезу (Н₀ : ρ_yx = 0), она не должна подтверждаться при P = 0,9, т.е. связь между y и x_j должна быть значима.

3. Рассчитать частные коэффициенты корреляции . Проверить значимость частных коэффициентов корреляции по нулевой гипотезе .

4. Рассчитать частные коэффициенты корреляции , . Проверить их значимость по нулевой гипотезе. В модель отбираются факторы для которых значим, а и незначимы.

5. Построить уравнение множественной линейной регрессии для двух независимых факторов .

Оценить параметры a₀, a₁ ,a₂ по нулевой гипотезе с помощью t – критерия Стьюдента, аналогично случаю парной регрессии. Для определения t_расч первоначально найти
С_кк - диагональные элементы обратной матрицы и S² _ост – остаточную дисперсию.

6. Построить уравнение множественной нелинейной регрессии с помощью метода Брандона.

7. Провести спецификацию множественной регрессии, сначала линейной, затем нелинейной. Для этого определить:

a. корреляционное отношение ŋ и его значимость;

b. относительную ошибку аппроксимации δ;

c. значимость уравнения в целом;

d. автокорреляцию остатков по критерию Дарбина – Уотсона.

Сделать вывод.

Приложения

Приложение 1. Распределение Стьюдента (t-распределение)

Пример: t_a,v = t_{0, 05; 20} =1,725; v — число степеней свободы,

Р(Т > 1,725) = 0,05; a — уровень значимости.

Р(| Т | > 1,725) =0,10.